\( \textbf{Ejercicio.} \)
En una casa hay tres llaveros: \( A \), \( B \) y \( C \). El primero tiene cinco llaves, el segundo tiene siete y el tercero tiene ocho. Solo una llave de cada llavero abre la puerta del garaje. Se elige al azar un llavero y, de él, una llave para intentar abrir la puerta del garaje.
a) ¿Cuál es la probabilidad de acertar con la llave?
b) Si la llave escogida es la correcta, ¿cuál es la probabilidad de que pertenezca al llavero \( A \)?
Solución de los Apartados
a) ¿Cuál es la probabilidad de acertar con la llave?
Solución: Llamamos \( AP \) al suceso "abrir la puerta del garaje con la llave escogida".
Hay tres llaveros: \( A \), \( B \) y \( C \), con 5, 7 y 8 llaves respectivamente. Solo una llave en cada llavero abre la puerta.
Como se escoge un llavero al azar, la probabilidad de elegir cualquiera de ellos es:
\[
P(A) = P(B) = P(C) = \frac{1}{3}
\]
La probabilidad de acertar con la llave si se ha escogido el llavero \( A \) es \( \frac{1}{5} \), ya que hay 5 llaves y solo una es correcta. De forma análoga:
\[
P(AP / A) = \frac{1}{5}, \quad P(AP / B) = \frac{1}{7}, \quad P(AP / C) = \frac{1}{8}
\]
Aplicamos el teorema de la probabilidad total:
\[
P(AP) = P(A) \cdot P(AP / A) + P(B) \cdot P(AP / B) + P(C) \cdot P(AP / C)
\]
\[
P(AP) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{7} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{8}
\]
\[
P(AP) = \frac{1}{15} + \frac{1}{21} + \frac{1}{24} \approx 0{,}1560
\]
Por tanto, la probabilidad de abrir la puerta del garaje con la llave elegida es:
\[
\boxed{P(AP) = 0{,}1560}
\]
b) Si la llave escogida es la correcta, ¿cuál es la probabilidad de que pertenezca al llavero \( A \)?
Solución: Queremos calcular la probabilidad de que el llavero elegido haya sido el \( A \), sabiendo que se ha conseguido abrir la puerta. Es decir:
\[
P(A / AP)
\]
Aplicamos el teorema de Bayes:
\[
P(A / AP) = \frac{P(AP / A) \cdot P(A)}{P(AP)}
\]
Conocemos los siguientes valores:
\[
P(AP / A) = \frac{1}{5}, \quad P(A) = \frac{1}{3}, \quad P(AP) = \frac{1}{15} + \frac{1}{21} + \frac{1}{24}
\]
Sustituimos en la fórmula:
\[
P(A / AP) = \frac{\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3}}{\frac{1}{15} + \frac{1}{21} + \frac{1}{24}} = \frac{\frac{1}{15}}{\frac{1}{15} + \frac{1}{21} + \frac{1}{24}}
\]
Calculamos el denominador:
\[
\frac{1}{15} + \frac{1}{21} + \frac{1}{24} = \frac{56 + 40 + 35}{840} = \frac{131}{840}
\]
Entonces:
\[
P(A / AP) = \frac{1/15}{131/840} = \frac{1 \cdot 840}{15 \cdot 131} = \frac{840}{1965} \approx 0{,}4275
\]
Por tanto, la probabilidad de que el llavero escogido haya sido el \( A \), dado que se ha abierto la puerta, es:
\[
\boxed{P(A / AP) \approx 0{,}4275}
\]