Ejercicio resuelto de Probabilidad total y Teorema de Bayes (3 de 3)

Solución: Llamamos \( AP \) al suceso "abrir la puerta del garaje con la llave escogida". Hay tres llaveros: \( A \), \( B \) y \( C \), con 5, 7 y 8 llaves respectivamente. Solo una llave en cada llavero abre la puerta. Como se escoge un llavero al azar, la probabilidad de elegir cualquiera de ellos es: \[ P(A) = P(B) = P(C) = \frac{1}{3} \] La probabilidad de acertar con la llave si se ha escogido el llavero \( A \) es \( \frac{1}{5} \), ya que hay 5 llaves y solo una es correcta. De forma análoga: \[ P(AP / A) = \frac{1}{5}, \quad P(AP / B) = \frac{1}{7}, \quad P(AP / C) = \frac{1}{8} \] Aplicamos el teorema de la probabilidad total: \[ P(AP) = P(A) \cdot P(AP / A) + P(B) \cdot P(AP / B) + P(C) \cdot P(AP / C) \] \[ P(AP) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{7} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{8} \] \[ P(AP) = \frac{1}{15} + \frac{1}{21} + \frac{1}{24} \approx 0{,}1560 \] Por tanto, la probabilidad de abrir la puerta del garaje con la llave elegida es: \[ \boxed{P(AP) = 0{,}1560} \]

Solución: Queremos calcular la probabilidad de que el llavero elegido haya sido el \( A \), sabiendo que se ha conseguido abrir la puerta. Es decir: \[ P(A / AP) \] Aplicamos el teorema de Bayes: \[ P(A / AP) = \frac{P(AP / A) \cdot P(A)}{P(AP)} \] Conocemos los siguientes valores: \[ P(AP / A) = \frac{1}{5}, \quad P(A) = \frac{1}{3}, \quad P(AP) = \frac{1}{15} + \frac{1}{21} + \frac{1}{24} \] Sustituimos en la fórmula: \[ P(A / AP) = \frac{\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3}}{\frac{1}{15} + \frac{1}{21} + \frac{1}{24}} = \frac{\frac{1}{15}}{\frac{1}{15} + \frac{1}{21} + \frac{1}{24}} \] Calculamos el denominador: \[ \frac{1}{15} + \frac{1}{21} + \frac{1}{24} = \frac{56 + 40 + 35}{840} = \frac{131}{840} \] Entonces: \[ P(A / AP) = \frac{1/15}{131/840} = \frac{1 \cdot 840}{15 \cdot 131} = \frac{840}{1965} \approx 0{,}4275 \] Por tanto, la probabilidad de que el llavero escogido haya sido el \( A \), dado que se ha abierto la puerta, es: \[ \boxed{P(A / AP) \approx 0{,}4275} \]