Ejercicio - Optimización y Teorema de Rolle
Ejercicio de Derivadas
\( \textbf{Ejercicio.} \quad \textbf{Optimización} \) Queremos construir un pequeño cobertizo de madera de \( 6 \, \text{m}^3 \) de volumen, con forma de prisma rectangular, adosado a la pared lateral de una casa, para guardar leña. Solo hace falta construir, por tanto, el techo y tres paredes (la pared del fondo del cobertizo es la de la casa a la que está adosado). Además, queremos que el cobertizo mida el triple de ancho que de fondo. Cada metro cuadrado de pared tiene un coste de construcción de \( 30 \, \text{€} \) y el techo cuesta \( 50 \, \text{€/m}^2 \). Una vez construido el cobertizo, añadirle una puerta tiene un coste fijo de \( 35 \, \text{€} \).
a) Comprueba que el coste de construcción del cobertizo está determinado por la función \[ C(x) = \frac{300}{x} + 150x^2 + 35, \] donde \( x \) es la profundidad del cobertizo en metros.
b) Calcula cuáles deben ser las dimensiones del cobertizo para que el coste de construcción sea mínimo y justifica la respuesta. ¿Cuál es ese coste?
Solución de los Apartados
a) Comprueba que el coste de construcción del cobertizo está determinado por la función \[ C(x) = \frac{300}{x} + 150x^2 + 35, \] donde \( x \) es la profundidad del cobertizo en metros.
Solución: Denotamos: \[ \begin{align*} x &= \text{profundidad del cobertizo (en metros)} \\ h &= \text{altura del cobertizo (en metros)} \\ \text{anchura} &= 3x \quad (\text{el cobertizo mide el triple de ancho que de fondo}) \end{align*} \] El volumen del cobertizo es: \[ V = x \cdot h \cdot 3x = 3x^2h \] Este volumen debe ser \( 6 \, \text{m}^3 \), por tanto: \[ 3x^2h = 6 \quad \Rightarrow \quad h = \frac{2}{x^2} \] Calculamos ahora el coste total de construcción. \( \textbf{1. Paredes:} \) Se construyen tres paredes: - Dos laterales: cada una de área \( x \cdot h \) - Una frontal: de área \( 3x \cdot h \) El área total es: \[ 2xh + 3xh = 5xh \] El coste por metro cuadrado de pared es \( 30 \, \text{€} \), por tanto: \[ \textbf{Coste de paredes:} \quad 30 \cdot 5xh = 150xh \] Sustituimos \( h = \frac{2}{x^2} \): \[ 150xh = 150x \cdot \frac{2}{x^2} = \frac{300}{x} \] \( \textbf{2. Techo:} \) El área del techo es: \[ x \cdot 3x = 3x^2 \] Coste por metro cuadrado de techo: \( 50 \, \text{€} \) \[ \textbf{Coste del techo:} \quad 50 \cdot 3x^2 = 150x^2 \] \( \textbf{3. Puerta:} \) Coste fijo de la puerta: \( 35 \, \text{€} \) \( \textbf{Coste total:} \) \[ C(x) = \frac{300}{x} + 150x^2 + 35 \] \[ \boxed{C(x) = \frac{300}{x} + 150x^2 + 35} \]
b) Calcula cuáles deben ser las dimensiones del cobertizo para que el coste de construcción sea mínimo y justifica la respuesta. ¿Cuál es ese coste?
Solución: Queremos minimizar la función de coste: \[ C(x) = \frac{300}{x} + 150x^2 + 35 \] Calculamos su derivada: \[ C'(x) = -\frac{300}{x^2} + 300x \] Igualamos a cero para encontrar los puntos críticos: \[ -\frac{300}{x^2} + 300x = 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{300}{x^2} = 300x \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{x^2} = x \quad \Rightarrow \quad x^3 = 1 \quad \Rightarrow \quad x = 1 \] Para comprobar que se trata de un mínimo, calculamos la segunda derivada: \[ C''(x) = \frac{600}{x^3} + 300 \] Evaluamos en \( x = 1 \): \[ C''(1) = \frac{600}{1^3} + 300 = 600 + 300 = 900 > 0 \] Como la segunda derivada es positiva, se trata de un \textbf{mínimo}. Calculamos ahora las dimensiones óptimas: \[ x = 1 \Rightarrow \text{fondo: } 1 \, \text{m} \] \[ 3x = 3 \Rightarrow \text{anchura: } 3 \, \text{m} \] \[ h = \frac{2}{x^2} = \frac{2}{1^2} = 2 \, \text{m} \] Finalmente, calculamos el coste mínimo: \[ C(1) = \frac{300}{1} + 150 \cdot 1^2 + 35 = 300 + 150 + 35 = \boxed{485 \, \text{euros}} \]