Ejercicio - Operaciones con matrices
Ejercicio de Matrices
\( \textbf{Ejercicio.} \) Sean las siguientes matrices: \[ A = \begin{pmatrix} c & 8 \\ 1 & b + c \end{pmatrix} \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & a + c & 4 \end{pmatrix} \quad C = \begin{pmatrix} a + 2 & 1 \\ 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \]
Calcula los valores de \( a \), \( b \) y \( c \) para que el producto de dos de ellas sea igual a la matriz restante.
Solución de los Apartados
Calcula los valores de \( a \), \( b \) y \( c \) para que el producto de dos de ellas sea igual a la matriz restante.
Solución: Queremos calcular los valores de \( a \), \( b \) y \( c \) de forma que el producto de dos de las matrices dadas sea igual a la tercera. Analizamos las dimensiones de las matrices: \[ \begin{align*} A & \in \mathbb{R}^{2 \times 2} \\ B & \in \mathbb{R}^{2 \times 3} \\ C & \in \mathbb{R}^{3 \times 2} \end{align*} \] Observamos que el producto \( B \cdot C \) es posible y da como resultado una matriz de dimensión \( 2 \times 2 \), que coincide con la dimensión de la matriz \( A \). Por tanto, planteamos: \[ B \cdot C = A \] Multiplicamos las matrices: \[ B \cdot C = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & a + c & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a + 2 & 1 \\ 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \] Calculamos cada elemento del producto \( B \cdot C \): \[ \begin{pmatrix} 1(a + 2) + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 1 & 1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 1 \\ 2(a + 2) + (a + c) \cdot 3 + 4 \cdot 1 & 2 \cdot 1 + (a + c) \cdot 2 + 4 \cdot 1 \end{pmatrix} \] Operamos: \[ B \cdot C = \begin{pmatrix} a + 2 + 6 + 3 & 1 + 4 + 3 \\ 2a + 4 + 3a + 3c + 4 & 2 + 2a + 2c + 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a + 11 & 8 \\ 5a + 3c + 8 & 2a + 2c + 6 \end{pmatrix} \] Entonces tenemos: \[ A = \begin{pmatrix} c & 8 \\ 1 & b + c \end{pmatrix} \] Igualamos los elementos de las matrices \( B \cdot C \) y \( A \): \[ \begin{cases} a + 11 = c \\ 8 = 8 \\ 5a + 3c + 8 = 1 \\ 2a + 2c + 6 = b + c \end{cases} \] Resolviendo el sistema: Primera ecuación: \[ a + 11 = c \quad \Rightarrow \quad c = a + 11 \] Sustituimos en la tercera ecuación: \[ 5a + 3(a + 11) + 8 = 1 \Rightarrow 5a + 3a + 33 + 8 = 1 \Rightarrow 8a + 41 = 1 \Rightarrow 8a = -40 \Rightarrow a = -5 \] Sustituimos en \( c = a + 11 \): \[ c = -5 + 11 = 6 \] Sustituimos en la cuarta ecuación: \[ 2a + 2c + 6 = b + c \Rightarrow 2(-5) + 2(6) + 6 = b + 6 \Rightarrow -10 + 12 + 6 = b + 6 \Rightarrow 8 = b + 6 \Rightarrow b = 2 \] \[ \Rightarrow \boxed{a = -5, \quad b = 2, \quad c = 6} \]