Ejercicio - Probabilidad total y Teorema de Bayes
Ejercicio de Probabilidad
\( \textbf{Ejercicio.} \) Sean \( A \) i \( B \) dos eventos que: \[ P(A) = 0{,}5, \quad P(B) = 0{,}3 \quad \text{i} \quad P(A \cap B) = 0{,}1 \] Calcula:
a) \( P(A / B) \)
b) \( P(A \cap B / A \cup B) \)
c) \( P(A / A \cap B) \)
d) \( P(A / A \cup B) \)
Solución de los Apartados
a) \( P(A / B) \)
Solución: Queremos calcular la probabilidad condicional \( P(A / B) \), que representa la probabilidad de que ocurra el suceso \( A \), sabiendo que ha ocurrido \( B \). \[ P(A / B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \] Sustituimos los valores dados: \[ P(A \cap B) = 0{,}1, \quad P(B) = 0{,}3 \] \[ P(A / B) = \frac{0{,}1}{0{,}3} \] \[ P(A / B) = \frac{1}{3} \] Por tanto, la probabilidad de que ocurra \( A \) dado que ha ocurrido \( B \) es: \[ P(A / B) = \frac{1}{3} \]
b) \( P(A \cap B / A \cup B) \)
Solución: Queremos calcular la probabilidad condicional \( P(A \cap B / A \cup B) \), es decir, la probabilidad de que ocurran simultáneamente \( A \) y \( B \), sabiendo que ha ocurrido al menos uno de los dos. Por definición de probabilidad condicional: \[ P(A \cap B / A \cup B) = \frac{P((A \cap B) \cap (A \cup B))}{P(A \cup B)} \] Observamos que: \[ (A \cap B) \cap (A \cup B) = A \cap B \] Por tanto: \[ P(A \cap B / A \cup B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A \cup B)} \] Calculamos \( P(A \cup B) \) con la fórmula de la unión: \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0{,}5 + 0{,}3 - 0{,}1 = 0{,}7 \] Entonces: \[ P(A \cap B / A \cup B) = \frac{0{,}1}{0{,}7} = \frac{1}{7} \] Por tanto, la probabilidad solicitada es: \[ P(A \cap B / A \cup B) = \frac{1}{7} \]
c) \( P(A / A \cap B) \)
Solución: Queremos calcular \( P(A / A \cap B) \), es decir, la probabilidad de que ocurra \( A \), sabiendo que ha ocurrido simultáneamente \( A \) y \( B \). Por definición de probabilidad condicional: \[ P(A / A \cap B) = \frac{P(A \cap (A \cap B))}{P(A \cap B)} \] Aplicamos la propiedad de intersección: \[ A \cap (A \cap B) = A \cap B \] Entonces: \[ P(A / A \cap B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A \cap B)} = 1 \] Por tanto, la probabilidad solicitada es: \[ P(A / A \cap B) = 1 \]
d) \( P(A / A \cup B) \)
Solución: Queremos calcular \( P(A / A \cup B) \), es decir, la probabilidad de que ocurra el suceso \( A \), sabiendo que ha ocurrido al menos uno de los dos sucesos \( A \) o \( B \). Por definición de probabilidad condicional: \[ P(A / A \cup B) = \frac{P(A \cap (A \cup B))}{P(A \cup B)} \] Observamos que: \[ A \cap (A \cup B) = A \] Entonces: \[ P(A / A \cup B) = \frac{P(A)}{P(A \cup B)} \] Calculamos: \[ P(A) = 0{,}5, \quad P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0{,}5 + 0{,}3 - 0{,}1 = 0{,}7 \] \[ P(A / A \cup B) = \frac{0{,}5}{0{,}7} = \frac{5}{7} \] Por tanto, la probabilidad solicitada es: \[ P(A / A \cup B) = \frac{5}{7} \]