Ejercicio - Producto y potencia de una matriz

Solución: Se nos dan las siguientes matrices: \[ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 3 \end{pmatrix} \quad B = \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & \frac{2}{3} & -\frac{2}{3} \end{pmatrix} \] Calculamos primero la transpuesta de \( B \): \[ B^t = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ \frac{1}{3} & 1 & \frac{2}{3} \\ -\frac{1}{3} & 0 & -\frac{2}{3} \end{pmatrix} \] Multiplicamos las matrices: \[ A \cdot B^t = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ \frac{1}{3} & 1 & \frac{2}{3} \\ -\frac{1}{3} & 0 & -\frac{2}{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \] Por tanto, \[ A \cdot B^t = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \] Calculamos ahora potencias sucesivas de \( A \cdot B^t \): \[ (A \cdot B^t)^2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} \] \[ (A \cdot B^t)^3 = (A \cdot B^t)^2 \cdot (A \cdot B^t) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} = -I_3 \] \[ (A \cdot B^t)^4 = (A \cdot B^t)^3 \cdot (A \cdot B^t) = -I_3 \cdot (A \cdot B^t) = - (A \cdot B^t) \] \[ (A \cdot B^t)^5 = (A \cdot B^t)^4 \cdot (A \cdot B^t) = - (A \cdot B^t)^2 \] \[ (A \cdot B^t)^6 = (A \cdot B^t)^5 \cdot (A \cdot B^t) = - (A \cdot B^t)^3 = -(-I_3) = I_3 \] Como \( (A \cdot B^t)^6 = I_3 \), la matriz es cíclica de orden 6. Por tanto: \[ (A \cdot B^t)^{2020} = (A \cdot B^t)^{6 \cdot 336 + 4} = ((A \cdot B^t)^6)^{336} \cdot (A \cdot B^t)^4 = I_3 \cdot (A \cdot B^t)^4 \] \[ (A \cdot B^t)^4 = - (A \cdot B^t) = - \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \] Por tanto: \[ (A \cdot B^t)^3 = -I_3 \quad \text{y} \quad (A \cdot B^t)^{2020} = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]