Ejercicio - Producto y potencia de una matriz

Solución: Nos dan la matriz: \[ A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \] Y nos piden calcular \( B^{21} \), sabiendo que: \[ B = 2A - I \] Calculamos primero \( B \): \[ 2A = 2 \cdot \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 4 & -2 \end{pmatrix} \] \[ I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \quad \Rightarrow \quad B = 2A - I = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 4 & -2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 4 & -3 \end{pmatrix} \] Ahora, calculamos \( B^2 \): \[ B^2 = B \cdot B = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 4 & -3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 4 & -3 \end{pmatrix} \] Multiplicamos las matrices: \[ B^2 = \begin{pmatrix} 3 \cdot 3 + (-2) \cdot 4 & 3 \cdot (-2) + (-2) \cdot (-3) \\ 4 \cdot 3 + (-3) \cdot 4 & 4 \cdot (-2) + (-3) \cdot (-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 - 8 & -6 + 6 \\ 12 - 12 & -8 + 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I \] Hemos comprobado que \( B^2 = I \), la matriz identidad. Como \( B^2 = I \), entonces las potencias de \( B \) siguen un patrón: \[ B^1 = B, \quad B^2 = I, \quad B^3 = B, \quad B^4 = I, \quad \dots \] Este patrón se repite cada dos potencias. Como \( 21 \) es impar, concluimos que: \[ B^{21} = B \] Por tanto: \[ B^{21} = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 4 & -3 \end{pmatrix} \]