Ejercicio - Determinante de una matriz

Solución: Queremos calcular el determinante de la matriz \( 3A \), es decir, la matriz que se obtiene al multiplicar todos los elementos de \( A \) por 3. Utilizamos la siguiente propiedad de los determinantes: \[ \text{Si } A \in \mathbb{R}^{n \times n}, \text{ entonces } \det(kA) = k^n \cdot \det(A) \] En nuestro caso, la matriz \( A \) es de orden 3 y se multiplica por el escalar 3: \[ \det(3A) = 3^3 \cdot \det(A) = 27 \cdot 5 = 135 \] \[ \Rightarrow \boxed{\det(3A) = 135} \]

Solución: Queremos calcular el determinante de la matriz inversa de \( A \), es decir, \( \det(A^{-1}) \). Utilizamos la siguiente propiedad fundamental de los determinantes: \[ \text{Si } A \text{ es una matriz cuadrada e invertible, entonces } \det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)} \] Dado que \( \det(A) = 5 \), y como \( \det(A) \neq 0 \), sabemos que \( A \) es invertible. Por tanto: \[ \det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)} = \frac{1}{5} \] \[ \Rightarrow \boxed{\det(A^{-1}) = \frac{1}{5}} \]

Solución: Queremos calcular el determinante de la matriz \( 2A \), es decir, aquella que se obtiene al multiplicar todos los elementos de la matriz \( A \) por el escalar 2. Usamos la siguiente propiedad de los determinantes: \[ \text{Si } A \in \mathbb{R}^{n \times n}, \text{ entonces } \det(kA) = k^n \cdot \det(A) \] Como \( A \) es una matriz de orden 3 y el escalar es \( k = 2 \), tenemos: \[ \det(2A) = 2^3 \cdot \det(A) = 8 \cdot 5 = 40 \] \[ \Rightarrow \boxed{\det(2A) = 40} \]

Solución: Queremos calcular el determinante de una matriz de orden 3 cuyas columnas son \( 3C_1, 2C_3, C_2 \), es decir, una matriz construida a partir de las columnas de \( A \), pero con cambios de orden y escalares: \[ \text{Columnas: } \quad 3 \cdot C_1, \quad 2 \cdot C_3, \quad C_2 \] Paso 1: Aplicamos la propiedad de multiplicación por escalares a columnas individuales. Multiplicar una columna por un escalar multiplica el determinante por ese escalar. Por tanto: \[ \det(3C_1, 2C_3, C_2) = 3 \cdot 2 \cdot \det(C_1, C_3, C_2) \] Paso 2: Observamos que \( \det(C_1, C_3, C_2) \) es una permutación de las columnas \( C_1, C_2, C_3 \), intercambiando la segunda y la tercera. Intercambiar dos columnas cambia el signo del determinante: \[ \det(C_1, C_3, C_2) = - \det(C_1, C_2, C_3) \] Y sabemos que \( \det(C_1, C_2, C_3) = \det(A) = 5 \), entonces: \[ \det(3C_1, 2C_3, C_2) = 3 \cdot 2 \cdot (-5) = -30 \] \[ \Rightarrow \boxed{\det = -30} \]