Ejercicio resuelto de Rango de una matriz (1 de 2)

Solución: Queremos calcular el rango de las siguientes matrices: \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix} \quad B = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 4 & 2 \end{pmatrix} \] \( \textbf{Rango de la matriz A} \) Aplicamos operaciones elementales por filas para triangular la matriz y observar cuántas filas linealmente independientes hay: \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix} \] Eliminamos el 2 de la segunda fila usando la primera: \[ F_2 \leftarrow F_2 - 2F_1 \Rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \end{pmatrix} \] Las dos filas son no nulas y linealmente independientes, por tanto: \[ \Rightarrow \boxed{\text{Rango}(A) = 2} \] \( \textbf{Rango de la matriz B} \) Trabajamos con la matriz: \[ B = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 4 & 2 \end{pmatrix} \] Intercambiamos la primera y segunda fila para que haya un pivote en la primera posición: \[ F_1 \leftrightarrow F_2 \Rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 4 & 2 \end{pmatrix} \] Eliminamos la entrada \( 4 \) en la tercera fila: \[ F_3 \leftarrow F_3 - 2F_2 \Rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \] La tercera fila es nula, pero las dos primeras son linealmente independientes: \[ \Rightarrow \boxed{\text{Rango}(B) = 2} \]