Ejercicio - Matriz adjunta e inversa

Solución: Nos dan las matrices: \[ A = \begin{pmatrix} m & -1 & 1 \\ -2 & 0 & m \end{pmatrix} \quad C = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -2 & 1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} \] Calculamos el producto \( A \cdot C \), que es posible porque: \[ A \in \mathbb{R}^{2 \times 3}, \quad C \in \mathbb{R}^{3 \times 2} \quad \Rightarrow \quad A \cdot C \in \mathbb{R}^{2 \times 2} \] Multiplicamos: \[ A \cdot C = \begin{pmatrix} m & -1 & 1 \\ -2 & 0 & m \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -2 & 1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} \] Calculamos cada entrada de la matriz producto: Primera fila: \[ \begin{aligned} (1,1): & \quad m \cdot 0 + (-1) \cdot (-2) + 1 \cdot 3 = 0 + 2 + 3 = 5 \\ (1,2): & \quad m \cdot (-1) + (-1) \cdot 1 + 1 \cdot (-1) = -m -1 -1 = -m - 2 \end{aligned} \] Segunda fila: \[ \begin{aligned} (2,1): & \quad -2 \cdot 0 + 0 \cdot (-2) + m \cdot 3 = 0 + 0 + 3m = 3m \\ (2,2): & \quad -2 \cdot (-1) + 0 \cdot 1 + m \cdot (-1) = 2 + 0 - m = -m + 2 \end{aligned} \] Por tanto: \[ A \cdot C = \begin{pmatrix} 5 & -m - 2 \\ 3m & -m + 2 \end{pmatrix} \] Para que esta matriz tenga inversa, su determinante debe ser distinto de cero: \[ \left| \begin{matrix} 5 & -m - 2 \\ 3m & -m + 2 \end{matrix} \right| = 5(-m + 2) - (-m - 2)(3m) \] \[ = -5m + 10 + 3m(m + 2) = -5m + 10 + 3m^2 + 6m = 3m^2 + m + 10 \] Analizamos si esta expresión se anula: \[ \det(A \cdot C) = 3m^2 + m + 10 \] El discriminante de este polinomio es: \[ \Delta = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot 10 = 1 - 120 = -119 < 0 \] Por tanto, el polinomio **no se anula para ningún valor real de \( m \)**: \[ \Rightarrow \boxed{\det(A \cdot C) \neq 0 \quad \forall m \in \mathbb{R}} \] \[ \Rightarrow \boxed{\text{La matriz } A \cdot C \text{ es invertible para todo } m \in \mathbb{R}} \]

Solución: Partimos de las matrices: \[ A = \begin{pmatrix} m & -1 & 1 \\ -2 & 0 & m \end{pmatrix} \quad C = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -2 & 1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} \] Sustituimos \( m = 0 \) en \( A \): \[ A = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ -2 & 0 & 0 \end{pmatrix} \] Multiplicamos \( A \cdot C \): \[ A \cdot C = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ -2 & 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -2 & 1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} \] Calculamos las entradas de la matriz producto: Primera fila: \[ (1,1): 0 \cdot 0 + (-1) \cdot (-2) + 1 \cdot 3 = 2 + 3 = 5 \\ (1,2): 0 \cdot (-1) + (-1) \cdot 1 + 1 \cdot (-1) = -1 - 1 = -2 \] Segunda fila: \[ (2,1): -2 \cdot 0 + 0 \cdot (-2) + 0 \cdot 3 = 0 \\ (2,2): -2 \cdot (-1) + 0 \cdot 1 + 0 \cdot (-1) = 2 \] \[ \Rightarrow A \cdot C = \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \] Ahora calculamos la inversa de esta matriz: Sea: \[ M = \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \] La fórmula para la inversa de una matriz \( 2 \times 2 \) es: \[ M^{-1} = \frac{1}{\det(M)} \cdot \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \quad \text{para } M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \] Calculamos el determinante: \[ \det(M) = 5 \cdot 2 - 0 \cdot (-2) = 10 \] Aplicamos la fórmula: \[ M^{-1} = \frac{1}{10} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 0 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{5} & \frac{1}{5} \\ 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \] \[ \Rightarrow \boxed{(A \cdot C)^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{5} & \frac{1}{5} \\ 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}} \]