Ejercicio - Matriz adjunta e inversa

Solución: Una matriz cuadrada es \( \textbf{singular} \) si su determinante es igual a cero. Estudiamos los casos uno por uno. \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & m \\ m & 0 & -1 \\ 6 & -1 & 0 \end{pmatrix} \] Calculamos el determinante de \( A \) por desarrollo de la primera fila: \[ \det(A) = 1 \cdot \begin{vmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} m & -1 \\ 6 & 0 \end{vmatrix} + m \cdot \begin{vmatrix} m & 0 \\ 6 & -1 \end{vmatrix} \] Calculamos cada menor: \[ \begin{vmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} = 0 \cdot 0 - (-1) \cdot (-1) = -1 \] \[ \begin{vmatrix} m & -1 \\ 6 & 0 \end{vmatrix} = m \cdot 0 - (-1) \cdot 6 = 6 \] \[ \begin{vmatrix} m & 0 \\ 6 & -1 \end{vmatrix} = m \cdot (-1) - 0 \cdot 6 = -m \] Sustituimos todo en el determinante: \[ \det(A) = 1 \cdot (-1) - 1 \cdot 6 + m \cdot (-m) = -1 - 6 - m^2 = -m^2 - 7 \] Como \( -m^2 - 7 \neq 0 \) para ningún valor real de \( m \), entonces: \[ \boxed{ \text{La matriz } A \text{ es singular para todo } m \in \mathbb{R} } \] Ahora analizamos la matriz \( B \): \[ B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & m & 3 \\ 4 & 1 & -m \end{pmatrix} \] Calculamos su determinante desarrollando por la primera fila: \[ \det(B) = 1 \cdot \begin{vmatrix} m & 3 \\ 1 & -m \end{vmatrix} - 0 \cdot (\text{menor}) + (-1) \cdot \begin{vmatrix} 0 & m \\ 4 & 1 \end{vmatrix} \] Calculamos los menores: \[ \begin{vmatrix} m & 3 \\ 1 & -m \end{vmatrix} = m \cdot (-m) - 3 \cdot 1 = -m^2 - 3 \] \[ \begin{vmatrix} 0 & m \\ 4 & 1 \end{vmatrix} = 0 \cdot 1 - m \cdot 4 = -4m \] Sustituimos: \[ \det(B) = 1 \cdot (-m^2 - 3) - (-4m) = -m^2 - 3 + 4m = -m^2 + 4m - 3 \] Igualamos a cero para hallar los valores de \( m \) que hacen \( B \) singular: \[ -m^2 + 4m - 3 = 0 \quad \Leftrightarrow \quad m^2 - 4m + 3 = 0 \] Resolviendo la ecuación de segundo grado: \[ m = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2} \Rightarrow m = 1 \quad \text{o} \quad m = 3 \] Por tanto: \[ \boxed{ \text{La matriz } B \text{ es singular si } m = 1 \text{ o } m = 3 } \]