Ejercicio - Introducción a las integrales

Solución: Queremos encontrar una primitiva (también llamada función antiderivada) de la función: \[ f(x) = 2x \] que además pase por el punto \( (1,\,3) \), es decir, que cumpla \( F(1) = 3 \). \[ \textbf{1. Recordatorio teórico:} \] Una \( \textbf{primitiva} \) de una función \( f(x) \) es otra función \( F(x) \) tal que: \[ F'(x) = f(x) \] En este caso, queremos hallar una función \( F(x) \) cuya derivada sea \( f(x) = 2x \). Recordamos que: \[ \int 2x \, dx = x^2 + C \] donde \( C \in \mathbb{R} \) es una constante que representa todas las primitivas posibles. \[ \textbf{2. Hallamos la primitiva general:} \] \[ F(x) = x^2 + C \] \[ \textbf{3. Aplicamos la condición } F(1) = 3: \] \[ F(1) = 1^2 + C = 3 \quad \Rightarrow \quad 1 + C = 3 \quad \Rightarrow \quad C = 2 \] \[ \textbf{4. Conclusión:} \] La primitiva particular que pasa por el punto \( (1,\,3) \) es: \[ \boxed{F(x) = x^2 + 2} \]