Ejercicio resuelto de Introducción a las integrales (2 de 3)

Solución: Queremos calcular una primitiva de la función: \[ f(x) = \dfrac{1}{1 + x^2} \] que además cumpla la condición de que pasa por el punto \( \left( 1,\, \dfrac{\pi}{2} \right) \). Es decir, queremos hallar una función \( F(x) \) tal que: \[ F'(x) = f(x) = \dfrac{1}{1 + x^2} \quad \text{y} \quad F(1) = \dfrac{\pi}{2} \] \[ \textbf{1. Recordatorio teórico:} \] Sabemos que: \[ \int \dfrac{1}{1 + x^2} \, dx = \arctan x + C \] Por tanto, la primitiva general de \( f(x) \) es: \[ F(x) = \arctan x + C \] donde \( C \in \mathbb{R} \) es una constante. \[ \textbf{2. Aplicamos la condición } F(1) = \dfrac{\pi}{2}: \] \[ F(1) = \arctan(1) + C = \dfrac{\pi}{4} + C \quad \text{y debe ser igual a} \quad \dfrac{\pi}{2} \] \[ \dfrac{\pi}{4} + C = \dfrac{\pi}{2} \quad \Rightarrow \quad C = \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{4} \] \[ \textbf{3. Conclusión:} \] La primitiva que cumple la condición es: \[ \boxed{F(x) = \arctan x + \dfrac{\pi}{4}} \]