Ejercicio - Probabilidad total y Teorema de Bayes

Solución: Definimos los siguientes sucesos: \[ \textbf{SB:} \quad \text{el sábado hace buen tiempo} \] \[ \textbf{DB:} \quad \text{el domingo hace buen tiempo} \] Queremos calcular \( P(DB) \), es decir, la probabilidad de que el domingo haga buen tiempo. Para que esto ocurra, pueden darse dos situaciones: \[ \text{1ª: El sábado hace buen tiempo y el tiempo no cambia (domingo también hace buen tiempo).} \] \[ \text{2ª: El sábado hace mal tiempo y el tiempo cambia (domingo hace buen tiempo).} \] Aplicamos la regla de la probabilidad total: \[ P(DB) = P(SB \cap DB) + P(\overline{SB} \cap DB) \] Calculamos la primera situación: \[ P(SB \cap DB) = P(SB) \cdot P(DB \mid SB) = 0{,}4 \cdot 0{,}7 = 0{,}28 \] Calculamos la segunda situación: \[ P(\overline{SB} \cap DB) = P(\overline{SB}) \cdot P(DB \mid \overline{SB}) = 0{,}6 \cdot 0{,}3 = 0{,}18 \] Sumamos ambas: \[ P(DB) = 0{,}28 + 0{,}18 = 0{,}46 \] Por tanto, la probabilidad de que el domingo haga buen tiempo es: \[ \boxed{P(DB) = 0{,}46} \]