Ejercicio resuelto de Introducción a las integrales (3 de 3)

Solución: Queremos estudiar si alguna primitiva de la función \( f(x) = \dfrac{1}{x} \) corta al eje de abscisas, es decir, si existe algún valor de \( x \) tal que: \[ F(x) = 0 \] \[ \textbf{1. Recordatorio teórico:} \] Sabemos que: \[ \int \dfrac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C \] Por tanto, la familia de primitivas de \( f(x) = \dfrac{1}{x} \) es: \[ F(x) = \ln|x| + C \] \[ \textbf{2. Estudiamos si alguna de estas primitivas corta el eje } X \] Para que una primitiva corte el eje de abscisas, debe cumplirse que: \[ F(x) = 0 \quad \text{para algún } x \in \mathbb{R}, \, x \neq 0 \] Planteamos la ecuación: \[ \ln|x| + C = 0 \quad \Rightarrow \quad \ln|x| = -C \quad \Rightarrow \quad |x| = e^{-C} \] Dado que \( e^{-C} > 0 \) para todo \( C \in \mathbb{R} \), entonces: \[ |x| = e^{-C} \quad \Rightarrow \quad x = \pm e^{-C} \] Esto demuestra que siempre existe un valor de \( x \neq 0 \) que anula la función \( F(x) \), sea cual sea \( C \). \[ \textbf{3. Conclusión:} \] Sí, existe una (de hecho, infinitas) primitiva de \( f(x) = \dfrac{1}{x} \) que corta al eje de abscisas. De hecho, toda primitiva lo hace, ya que: \[ \boxed{F(x) = \ln|x| + C \quad \text{se anula para } x = \pm e^{-C}} \]