Ejercicio - Integrales casi inmediatas

Solución: Aplicamos la propiedad de la integral definida término a término: \[ \int (2 - 4x - x^4)\, dx = \int 2\, dx - \int 4x\, dx - \int x^4\, dx \] Calculamos cada término por separado: \[ \int 2\, dx = 2x \quad ; \quad \int 4x\, dx = 4 \cdot \frac{x^2}{2} = 2x^2 \quad ; \quad \int x^4\, dx = \frac{x^5}{5} \] Sustituimos todo en la expresión original: \[ \int (2 - 4x - x^4)\, dx = 2x - 2x^2 - \frac{x^5}{5} + C \] \[ \boxed{ \int (2 - 4x - x^4)\, dx = 2x - 2x^2 - \dfrac{x^5}{5} + C } \]

Solución: Primero recordamos que \( \sqrt{x} = x^{1/2} \), por lo tanto: \[ \int \dfrac{3}{2} \sqrt{x} \, dx = \dfrac{3}{2} \int x^{1/2} \, dx \] Aplicamos la fórmula de la integral de una potencia: \[ \int x^n \, dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad \text{(para } n \neq -1 \text{)} \] En este caso, \( n = \dfrac{1}{2} \): \[ \int x^{1/2} \, dx = \dfrac{x^{3/2}}{3/2} = \dfrac{2}{3} x^{3/2} \] Sustituimos: \[ \int \dfrac{3}{2} \sqrt{x} \, dx = \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{2}{3} x^{3/2} = x^{3/2} \] \[ \boxed{ \int \dfrac{3}{2} \sqrt{x} \, dx = x^{3/2} + C } \]

Solución: Primero reescribimos los términos en forma de potencias: \[ \sqrt[4]{x} = x^{1/4} \quad ; \quad \dfrac{1}{x} = x^{-1} \] Por tanto, la integral queda: \[ \int \left( x^{1/4} + x^{-1} \right) dx = \int x^{1/4} \, dx + \int x^{-1} \, dx \] Aplicamos la fórmula de integración de potencias: \[ \int x^n \, dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad \text{(para } n \neq -1 \text{)} \quad ; \quad \int x^{-1} \, dx = \ln|x| \] Calculamos cada parte: \[ \int x^{1/4} \, dx = \dfrac{x^{5/4}}{5/4} = \dfrac{4}{5} x^{5/4} \quad ; \quad \int x^{-1} \, dx = \ln|x| \] Por tanto: \[ \boxed{ \int \left( \sqrt[4]{x} + \dfrac{1}{x} \right) dx = \dfrac{4}{5} x^{5/4} + \ln|x| + C } \]

Solución: Reescribimos los términos en forma de potencias: \[ \dfrac{1}{x} = x^{-1} \quad ; \quad \dfrac{1}{x^5} = x^{-5} \] Entonces, la integral se convierte en: \[ \int \left( x^{-1} + x^{-5} \right) dx = \int x^{-1} \, dx + \int x^{-5} \, dx \] Aplicamos las reglas de integración: \[ \int x^{-1} \, dx = \ln|x| \quad ; \quad \int x^{-5} \, dx = \dfrac{x^{-4}}{-4} = -\dfrac{1}{4x^4} \] Por tanto, la solución es: \[ \boxed{ \int \left( \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^5} \right) dx = \ln|x| - \dfrac{1}{4x^4} + C } \]

Solución: Primero simplificamos el integrando: \[ \sqrt[3]{x^3} = x \quad \Rightarrow \quad -3 \cdot \sqrt[3]{x^3} = -3x \] Entonces la integral se convierte en: \[ \int -3x \, dx \] Aplicamos la regla de la integral de una potencia: \[ \int x \, dx = \dfrac{x^2}{2} \quad \Rightarrow \quad \int -3x \, dx = -3 \cdot \dfrac{x^2}{2} = -\dfrac{3}{2} x^2 \] Por tanto: \[ \boxed{ \int -3 \cdot \sqrt[3]{x^3} \, dx = -\dfrac{3}{2} x^2 + C } \]

Solución: \( \textbf{Paso 1:} \ \text{Expandimos el producto del integrando.} \) \[ (2 + x)(x - 3) = 2x - 6 + x^2 - 3x = x^2 - x - 6 \] \( \textbf{Paso 2:} \ \text{Integramos término a término:} \) \[ \int (x^2 - x - 6) \, dx = \int x^2 \, dx - \int x \, dx - \int 6 \, dx \] \[ = \dfrac{x^3}{3} - \dfrac{x^2}{2} - 6x + C \] \( \textbf{Resultado final:} \) \[ \boxed{ \int (2 + x)(x - 3) \, dx = \dfrac{x^3}{3} - \dfrac{x^2}{2} - 6x + C } \]

Solución: \( \textbf{Paso 1:} \quad \text{Reescribimos los términos usando potencias:} \) \[ \dfrac{4}{3x^2} = \dfrac{4}{3} x^{-2} \quad ; \quad \sqrt[5]{x^2} = x^{2/5} \] Entonces, la integral se convierte en: \[ \int \left( 3x^4 - \dfrac{4}{3} x^{-2} + 2x^{2/5} \right) dx \] \( \textbf{Paso 2:} \quad \text{Integramos término a término usando la fórmula:} \) \[ \int x^n \, dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} \quad \text{(si } n \neq -1 \text{)} \] \[ \int 3x^4 \, dx = 3 \cdot \dfrac{x^5}{5} = \dfrac{3}{5} x^5 \] \[ \int -\dfrac{4}{3} x^{-2} \, dx = -\dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{x^{-1}}{-1} = \dfrac{4}{3x} \] \[ \int 2x^{2/5} \, dx = 2 \cdot \dfrac{x^{7/5}}{7/5} = \dfrac{10}{7} x^{7/5} \] \( \textbf{Resultado final:} \) \[ \boxed{ \int \left( 3x^4 - \dfrac{4}{3x^2} + 2 \cdot \sqrt[5]{x^2} \right) dx = \dfrac{3}{5} x^5 + \dfrac{4}{3x} + \dfrac{10}{7} x^{7/5} + C } \]