Ejercicio - Integrales casi inmediatas

Solución: \( \textbf{Paso 1:} \quad \text{Simplificamos el cociente de potencias con la misma base:} \) \[ \dfrac{6^x}{2^x} = \left( \dfrac{6}{2} \right)^x = 3^x \] Entonces, la integral se convierte en: \[ \int 3^x \, dx \] \( \textbf{Paso 2:} \quad \text{Usamos la fórmula para integrar potencias de base distinta de } e: \) \[ \int a^x \, dx = \dfrac{a^x}{\ln a} + C \quad \text{para } a > 0, \, a \neq 1 \] En nuestro caso, \( a = 3 \), por tanto: \[ \int 3^x \, dx = \dfrac{3^x}{\ln 3} + C \] \( \textbf{Resultado final:} \) \[ \boxed{ \int \dfrac{6^x}{2^x} \, dx = \dfrac{3^x}{\ln 3} + C } \]

Solución: \( \textbf{Paso 1:} \quad \text{Aplicamos la propiedad de potencias con la misma variable exponente:} \) \[ \dfrac{3^x}{2^x} = \left( \dfrac{3}{2} \right)^x \] Entonces, la integral queda: \[ \int \left( \dfrac{3}{2} \right)^x dx \] \( \textbf{Paso 2:} \quad \text{Usamos la fórmula de la integral de una función exponencial de base distinta de } e: \) \[ \int a^x \, dx = \dfrac{a^x}{\ln a} + C \quad \text{con } a > 0,\, a \neq 1 \] Aquí, \( a = \dfrac{3}{2} \), por tanto: \[ \int \left( \dfrac{3}{2} \right)^x dx = \dfrac{\left( \dfrac{3}{2} \right)^x}{\ln \left( \dfrac{3}{2} \right)} + C \] \( \textbf{Resultado final:} \) \[ \boxed{ \int \dfrac{3^x}{2^x} \, dx = \dfrac{\left( \dfrac{3}{2} \right)^x}{\ln \left( \dfrac{3}{2} \right)} + C } \]

Solución: \( \textbf{Paso 1:} \quad \text{Usamos la propiedad de potencias:} \quad a^x \cdot b^x = (a \cdot b)^x \) \[ 5^x \cdot 2^x = (5 \cdot 2)^x = 10^x \] Entonces, la integral se convierte en: \[ \int 10^x \, dx \] \( \textbf{Paso 2:} \quad \text{Usamos la fórmula de la integral de una potencia de base distinta de } e: \) \[ \int a^x \, dx = \dfrac{a^x}{\ln a} + C \quad \text{para } a > 0,\, a \neq 1 \] Aquí, \( a = 10 \), por tanto: \[ \int 10^x \, dx = \dfrac{10^x}{\ln 10} + C \] \( \textbf{Resultado final:} \) \[ \boxed{ \int 5^x \cdot 2^x \, dx = \dfrac{10^x}{\ln 10} + C } \]

Solución: \( \textbf{Paso 1:} \quad \text{Identificamos que todos los términos son constantes o potencias de } x \) \[ \text{La constante } \dfrac{1}{e^2} \text{ se puede tratar como un número fijo} \] Separando la integral en términos: \[ \int \left( 3 - \dfrac{1}{e^2} + 2x \right) dx = \int 3 \, dx - \int \dfrac{1}{e^2} \, dx + \int 2x \, dx \] \( \textbf{Paso 2:} \quad \text{Calculamos cada parte por separado:} \) \[ \int 3 \, dx = 3x, \quad \int \dfrac{1}{e^2} \, dx = \dfrac{1}{e^2} x, \quad \int 2x \, dx = x^2 \] Entonces: \[ \int \left( 3 - \dfrac{1}{e^2} + 2x \right) dx = 3x - \dfrac{1}{e^2} x + x^2 + C \] \( \textbf{Resultado final:} \) \[ \boxed{ \int \left( 3 - \dfrac{1}{e^2} + 2x \right) dx = 3x - \dfrac{x}{e^2} + x^2 + C } \]

Solución: \( \textbf{Paso 1:} \quad \text{Reconocemos la forma de la derivada de la función arco tangente:} \) \[ \int \dfrac{1}{1 + x^2} \, dx = \arctan x + C \] Por lo tanto, si el numerador es \( -1 \), el resultado será simplemente el negativo de esa primitiva: \[ \int \dfrac{-1}{1 + x^2} \, dx = -\arctan x + C \] \( \textbf{Resultado final:} \) \[ \boxed{ \int \dfrac{-1}{1 + x^2} \, dx = -\arctan x + C } \]