Ejercicio - Métodos de integración: cambio de variable
Ejercicio de Integrales
\( \textbf{Ejercicio.} \) Halla el resultado de las siguientes integrales utilizando el cambio de variable más adecuado:
a) \( \displaystyle \int (2 - 9x)^6 \, dx \)
b) \( \displaystyle \int (x^2 + 1)^{20} \cdot 5x \, dx \)
c) \( \displaystyle \int \dfrac{\cos(\ln x)}{x} \, dx \)
d) \( \displaystyle \int \dfrac{\sqrt{1 + \tan x}}{\cos^2 x} \, dx \)
Solución de los Apartados
a) \( \displaystyle \int (2 - 9x)^6 \, dx \)
Solución: \( \textbf{Paso 1:} \quad \text{Usamos el cambio de variable:} \quad t = 2 - 9x \) Calculamos la derivada de \( t \): \[ dt = -9 \, dx \quad \Rightarrow \quad dx = \dfrac{dt}{-9} \] Sustituimos en la integral: \[ \int (2 - 9x)^6 \, dx = \int t^6 \cdot \dfrac{dt}{-9} = -\dfrac{1}{9} \int t^6 \, dt \] \( \textbf{Paso 2:} \quad \text{Integramos:} \) \[ \int t^6 \, dt = \dfrac{t^7}{7} \] Entonces: \[ -\dfrac{1}{9} \cdot \dfrac{t^7}{7} = -\dfrac{t^7}{63} \] \( \textbf{Paso 3:} \quad \text{Volvemos a la variable original:} \quad t = 2 - 9x \) \[ \boxed{ \int (2 - 9x)^6 \, dx = -\dfrac{(2 - 9x)^7}{63} + C } \]
b) \( \displaystyle \int (x^2 + 1)^{20} \cdot 5x \, dx \)
Solución: \( \textbf{Paso 1:} \quad \text{Usamos el cambio de variable:} \quad t = x^2 + 1 \) Derivamos ambos lados: \[ dt = 2x \, dx \quad \Rightarrow \quad dx = \dfrac{dt}{2x} \] Pero como en la integral tenemos \( 5x \, dx \), usamos directamente: \[ 5x \, dx = \dfrac{5}{2} \cdot 2x \, dx = \dfrac{5}{2} \, dt \] Entonces, la integral se convierte en: \[ \int (x^2 + 1)^{20} \cdot 5x \, dx = \dfrac{5}{2} \int t^{20} \, dt \] \( \textbf{Paso 2:} \quad \text{Integramos:} \) \[ \int t^{20} \, dt = \dfrac{t^{21}}{21} \] Multiplicamos por \( \dfrac{5}{2} \): \[ \dfrac{5}{2} \cdot \dfrac{t^{21}}{21} = \dfrac{5}{42} \, t^{21} \] \( \textbf{Paso 3:} \quad \text{Volvemos a la variable original:} \quad t = x^2 + 1 \) \[ \boxed{ \int (x^2 + 1)^{20} \cdot 5x \, dx = \dfrac{5}{42} (x^2 + 1)^{21} + C } \]
c) \( \displaystyle \int \dfrac{\cos(\ln x)}{x} \, dx \)
Solución: \( \textbf{Paso 1:} \quad \text{Usamos el cambio de variable:} \quad t = \ln x \) Entonces: \[ dt = \dfrac{1}{x} \, dx \quad \Rightarrow \quad dx = x \, dt \] Sustituimos: \[ \dfrac{\cos(\ln x)}{x} \, dx = \cos(t) \cdot \dfrac{1}{x} \cdot dx = \cos(t) \cdot dt \] Por tanto, la integral se convierte en: \[ \int \cos(t) \, dt = \sin(t) + C \] \( \textbf{Paso 2:} \quad \text{Volvemos a la variable original:} \quad t = \ln x \) \[ \boxed{ \int \dfrac{\cos(\ln x)}{x} \, dx = \sin(\ln x) + C } \]
d) \( \displaystyle \int \dfrac{\sqrt{1 + \tan x}}{\cos^2 x} \, dx \)
Solución: \( \textbf{Paso 1:} \quad \text{Observamos que aparece } \tan x \text{ y su derivada es } \dfrac{1}{\cos^2 x} \) Esto sugiere usar el cambio de variable: \[ t = 1 + \tan x \] Derivamos ambos lados: \[ dt = \dfrac{1}{\cos^2 x} \, dx \quad \Rightarrow \quad dx = \cos^2 x \, dt \] Entonces: \[ \dfrac{\sqrt{1 + \tan x}}{\cos^2 x} \, dx = \dfrac{\sqrt{t}}{\cos^2 x} \cdot dx = \dfrac{\sqrt{t}}{\cos^2 x} \cdot \cos^2 x \, dt = \sqrt{t} \, dt \] \( \textbf{Paso 2:} \quad \text{Integramos:} \) \[ \int \sqrt{t} \, dt = \int t^{1/2} \, dt = \dfrac{t^{3/2}}{3/2} = \dfrac{2}{3} t^{3/2} \] \( \textbf{Paso 3:} \quad \text{Volvemos a la variable original:} \quad t = 1 + \tan x \) \[ \boxed{ \int \dfrac{\sqrt{1 + \tan x}}{\cos^2 x} \, dx = \dfrac{2}{3} (1 + \tan x)^{3/2} + C } \]