Ejercicio - Métodos de integración: Por partes

Solución: Aplicamos el método de integración por partes: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] Escogemos: \[ u = 3x \quad \Rightarrow \quad du = 3 \, dx \] \[ dv = \sin x \, dx \quad \Rightarrow \quad v = -\cos x \] Sustituimos en la fórmula: \[ \int 3x \sin x \, dx = -3x \cos x + \int 3 \cos x \, dx \] Resolvemos la integral restante: \[ \int 3 \cos x \, dx = 3 \sin x \] Por tanto, la solución final es: \[ \boxed{ \int 3x \sin x \, dx = -3x \cos x + 3 \sin x + C } \]

Solución: \( \textbf{Paso 1:} \quad \text{Aplicamos el método de integración por partes:} \quad \int u \, dv = uv - \int v \, du \) \( \textbf{Elegimos:} \) \[ u = 2x + 1 \quad \Rightarrow \quad du = 2 \, dx \] \[ dv = e^x \, dx \quad \Rightarrow \quad v = e^x \] \( \textbf{Paso 2:} \quad \text{Sustituimos en la fórmula:} \) \[ \int (2x + 1) e^x \, dx = (2x + 1) e^x - \int 2e^x \, dx \] \( \textbf{Paso 3:} \quad \text{Resolvemos la integral restante:} \) \[ \int 2e^x \, dx = 2 \int e^x \, dx = 2e^x \] \( \textbf{Paso 4:} \quad \text{Sustituimos y simplificamos:} \) \[ (2x + 1) e^x - 2e^x = (2x - 1) e^x \] \( \textbf{Resultado final:} \) \[ \boxed{ \int (2x + 1) e^x \, dx = (2x - 1) e^x + C } \]

Solución: \( \textbf{Paso 1:} \quad \text{Aplicamos la fórmula de integración por partes:} \quad \int u \, dv = uv - \int v \, du \) \( \textbf{Elegimos:} \) \[ u = \arctan x \quad \Rightarrow \quad du = \dfrac{1}{1 + x^2} \, dx \] \[ dv = x \, dx \quad \Rightarrow \quad v = \dfrac{x^2}{2} \] \( \textbf{Paso 2:} \quad \text{Sustituimos en la fórmula:} \) \[ \int x \arctan x \, dx = \dfrac{x^2}{2} \cdot \arctan x - \int \dfrac{x^2}{2} \cdot \dfrac{1}{1 + x^2} \, dx \] \[ = \dfrac{x^2}{2} \arctan x - \dfrac{1}{2} \int \dfrac{x^2}{1 + x^2} \, dx \] \( \textbf{Paso 3:} \quad \text{Simplificamos el integrando:} \) \[ \dfrac{x^2}{1 + x^2} = 1 - \dfrac{1}{1 + x^2} \] Entonces: \[ \int \dfrac{x^2}{1 + x^2} \, dx = \int \left( 1 - \dfrac{1}{1 + x^2} \right) dx = x - \arctan x \] \( \textbf{Paso 4:} \quad \text{Sustituimos en la expresión original:} \) \[ \int x \arctan x \, dx = \dfrac{x^2}{2} \arctan x - \dfrac{1}{2} (x - \arctan x) \] \[ = \dfrac{x^2}{2} \arctan x - \dfrac{x}{2} + \dfrac{1}{2} \arctan x \] \( \textbf{Resultado final:} \) \[ \boxed{ \int x \arctan x \, dx = \dfrac{x^2}{2} \arctan x - \dfrac{x}{2} + \dfrac{1}{2} \arctan x + C } \]

Solución: \( \textbf{Paso 1:} \quad \text{Aplicamos el método de integración por partes:} \quad \int u \, dv = uv - \int v \, du \) \( \textbf{Elegimos:} \) \[ u = \ln 3x \quad \Rightarrow \quad du = \dfrac{dx}{x} \] \[ dv = (x + 1) \, dx \quad \Rightarrow \quad v = \int (x + 1) \, dx = \dfrac{x^2}{2} + x \] \( \textbf{Paso 2:} \quad \text{Aplicamos la fórmula:} \) \[ \int (x + 1) \ln 3x \, dx = \left( \dfrac{x^2}{2} + x \right) \ln 3x - \int \left( \dfrac{x^2}{2} + x \right) \cdot \dfrac{1}{x} \, dx \] \( \textbf{Paso 3:} \quad \text{Simplificamos el integrando:} \) \[ \left( \dfrac{x^2}{2} + x \right) \cdot \dfrac{1}{x} = \dfrac{x}{2} + 1 \] Entonces: \[ \int \left( \dfrac{x^2}{2} + x \right) \cdot \dfrac{1}{x} \, dx = \int \left( \dfrac{x}{2} + 1 \right) dx = \dfrac{x^2}{4} + x \] \( \textbf{Paso 4:} \quad \text{Sustituimos todo en la expresión original:} \) \[ \int (x + 1) \ln 3x \, dx = \left( \dfrac{x^2}{2} + x \right) \ln 3x - \left( \dfrac{x^2}{4} + x \right) + C \] \( \textbf{Resultado final:} \) \[ \boxed{ \int (x + 1) \ln 3x \, dx = \left( \dfrac{x^2}{2} + x \right) \ln 3x - \dfrac{x^2}{4} - x + C } \]

Solución: \( \textbf{Primer paso:} \quad \text{Aplicamos la fórmula de integración por partes:} \quad \int u \, dv = uv - \int v \, du \) \[ u = x^2 \quad \Rightarrow \quad du = 2x \, dx \] \[ dv = \cos 2x \, dx \quad \Rightarrow \quad v = \dfrac{\sin 2x}{2} \] Sustituimos en la fórmula: \[ \int x^2 \cos 2x \, dx = x^2 \cdot \dfrac{\sin 2x}{2} - \int \dfrac{2x \cdot \sin 2x}{2} \, dx = \dfrac{x^2 \sin 2x}{2} - \int x \sin 2x \, dx \] \( \textbf{Segundo paso:} \quad \text{Volvemos a aplicar integración por partes para } \int x \sin 2x \, dx \) \[ u = x \quad \Rightarrow \quad du = dx \] \[ dv = \sin 2x \, dx \quad \Rightarrow \quad v = -\dfrac{\cos 2x}{2} \] Sustituimos: \[ \int x \sin 2x \, dx = -x \cdot \dfrac{\cos 2x}{2} + \int \dfrac{\cos 2x}{2} \, dx = -\dfrac{x \cos 2x}{2} + \dfrac{1}{2} \int \cos 2x \, dx \] \[ \int \cos 2x \, dx = \dfrac{\sin 2x}{2} \quad \Rightarrow \quad \int x \sin 2x \, dx = -\dfrac{x \cos 2x}{2} + \dfrac{\sin 2x}{4} \] \( \textbf{Tercer paso:} \quad \text{Volvemos al resultado inicial} \) \[ \int x^2 \cos 2x \, dx = \dfrac{x^2 \sin 2x}{2} - \left( -\dfrac{x \cos 2x}{2} + \dfrac{\sin 2x}{4} \right) \] \[ = \dfrac{x^2 \sin 2x}{2} + \dfrac{x \cos 2x}{2} - \dfrac{\sin 2x}{4} + C \] \( \textbf{Resultado final:} \) \[ \boxed{ \int x^2 \cos 2x \, dx = \dfrac{x^2 \sin 2x}{2} + \dfrac{x \cos 2x}{2} - \dfrac{\sin 2x}{4} + C } \]

Solución: \( \textbf{Paso 1:} \quad \text{Escribimos la integral como:} \quad \int x \cdot \dfrac{1}{e^{2x}} \, dx \) Aplicamos el método de integración por partes: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] Elegimos: \[ u = x \quad \Rightarrow \quad du = dx \] \[ dv = \dfrac{1}{e^{2x}} \, dx = e^{-2x} \, dx \quad \Rightarrow \quad v = \int e^{-2x} \, dx = \dfrac{-1}{2} e^{-2x} \] Sustituimos en la fórmula: \[ \int \dfrac{x}{e^{2x}} \, dx = x \cdot \left( \dfrac{-1}{2} e^{-2x} \right) - \int \left( \dfrac{-1}{2} e^{-2x} \right) dx \] \[ = -\dfrac{x}{2e^{2x}} + \dfrac{1}{2} \int e^{-2x} \, dx = -\dfrac{x}{2e^{2x}} + \dfrac{1}{2} \cdot \left( \dfrac{-1}{2} e^{-2x} \right) = -\dfrac{x}{2e^{2x}} - \dfrac{1}{4e^{2x}} \] \( \textbf{Resultado final:} \) \[ \boxed{ \int \dfrac{x}{e^{2x}} \, dx = -\dfrac{x}{2e^{2x}} - \dfrac{1}{4e^{2x}} + C } \]