Ejercicio - Métodos de integración: Descomposición en fracciones simples

Solución: \( \textbf{Paso 1:} \quad \text{Factorizamos el denominador:} \) \[ x^3 - x = x(x - 1)(x + 1) \] Entonces: \[ \int \dfrac{5x - 3}{x^3 - x} \, dx = \int \dfrac{5x - 3}{x(x - 1)(x + 1)} \, dx \] \( \textbf{Paso 2:} \quad \text{Descomponemos en fracciones simples:} \) \[ \dfrac{5x - 3}{x(x - 1)(x + 1)} = \dfrac{A}{x} + \dfrac{B}{x - 1} + \dfrac{C}{x + 1} \] Multiplicamos ambos lados por el denominador común \( x(x - 1)(x + 1) \): \[ 5x - 3 = A(x - 1)(x + 1) + B(x)(x + 1) + C(x)(x - 1) \] Expandimos: \[ A(x^2 - 1) + B(x^2 + x) + C(x^2 - x) = A(x^2 - 1) + Bx^2 + Bx + Cx^2 - Cx \] Agrupamos: \[ ( A + B + C ) x^2 + ( B - C ) x + ( -A ) \] Igualamos con el numerador original \( 5x - 3 \): \[ \begin{cases} A + B + C = 0 \\ B - C = 5 \\ -A = -3 \Rightarrow A = 3 \end{cases} \] Sustituimos \( A = 3 \) en las otras ecuaciones: \[ 3 + B + C = 0 \Rightarrow B + C = -3 \] \[ B - C = 5 \] Resolviendo el sistema: Sumamos: \[ (B + C) + (B - C) = -3 + 5 \Rightarrow 2B = 2 \Rightarrow B = 1 \] \[ C = -3 - B = -3 - 1 = -4 \] \( \textbf{Paso 3:} \quad \text{Sustituimos la descomposición:} \) \[ \int \dfrac{5x - 3}{x(x - 1)(x + 1)} \, dx = \int \left( \dfrac{3}{x} + \dfrac{1}{x - 1} - \dfrac{4}{x + 1} \right) dx \] \( \textbf{Paso 4:} \quad \text{Integramos término a término:} \) \[ \int \dfrac{3}{x} \, dx = 3 \ln |x|, \quad \int \dfrac{1}{x - 1} \, dx = \ln |x - 1|, \quad \int \dfrac{-4}{x + 1} \, dx = -4 \ln |x + 1| \] \( \textbf{Resultado final:} \) \[ \boxed{ \int \dfrac{5x - 3}{x^3 - x} \, dx = 3 \ln |x| - 4 \ln |x + 1| + \ln |x - 1| + C } \]

Solución: \( \textbf{Paso 1:} \quad \text{Factorizamos el denominador:} \) \[ x^4 - 4x^2 = x^2(x^2 - 4) = x^2(x - 2)(x + 2) \] Entonces la integral se transforma en: \[ \int \dfrac{x^3 + 22x^2 - 12x + 8}{x^2(x - 2)(x + 2)} \, dx \] \( \textbf{Paso 2:} \quad \text{Descomponemos en fracciones simples:} \) \[ \dfrac{x^3 + 22x^2 - 12x + 8}{x^2(x - 2)(x + 2)} = \dfrac{A}{x} + \dfrac{B}{x^2} + \dfrac{C}{x - 2} + \dfrac{D}{x + 2} \] Multiplicamos por el denominador común \( x^2(x - 2)(x + 2) \): \[ x^3 + 22x^2 - 12x + 8 = A \cdot x(x - 2)(x + 2) + B \cdot (x - 2)(x + 2) + C \cdot x^2(x + 2) + D \cdot x^2(x - 2) \] \( \textbf{Paso 3:} \quad \text{Sustituimos valores de } x \text{ para obtener las constantes:} \) Para \( x = 0 \): \[ 8 = B(-2)(2) = -4B \quad \Rightarrow \quad B = -2 \] Para \( x = 2 \): \[ 2^3 + 22 \cdot 4 - 24 + 8 = 80, \quad C \cdot 4 \cdot 4 = 16C \Rightarrow C = 5 \] Para \( x = -2 \): \[ (-8) + 88 + 24 + 8 = 112, \quad D \cdot 4 \cdot (-4) = -16D \Rightarrow D = -7 \] Para \( x = 1 \): \[ \text{Lado izquierdo: } 1^3 + 22(1)^2 - 12(1) + 8 = 19 \] \[ \text{Lado derecho:} \] \[ A(1)(-1)(3) = -3A \] \[ B(-1)(3) = -3B = 6 \quad \text{(con } B = -2 \text{)} \] \[ C(1^2)(3) = 3C = 15 \quad \text{(con } C = 5 \text{)} \] \[ D(1^2)(-1) = -D = 7 \quad \text{(con } D = -7 \text{)} \] \[ 19 = -3A + 6 + 15 + 7 = -3A + 28 \quad \Rightarrow \quad A = 3 \] \( \textbf{Paso 4:} \quad \text{Reemplazamos en la integral:} \) \[ \int \left( \dfrac{3}{x} - \dfrac{2}{x^2} + \dfrac{5}{x - 2} - \dfrac{7}{x + 2} \right) dx \] \( \textbf{Paso 5:} \quad \text{Integramos término a término:} \) \[ \int \dfrac{3}{x} \, dx = 3 \ln |x|, \quad \int \dfrac{-2}{x^2} \, dx = \dfrac{2}{x} \] \[ \int \dfrac{5}{x - 2} \, dx = 5 \ln |x - 2|, \quad \int \dfrac{-7}{x + 2} \, dx = -7 \ln |x + 2| \] \( \textbf{Resultado final:} \) \[ \boxed{ \int \dfrac{x^3 + 22x^2 - 12x + 8}{x^4 - 4x^2} \, dx = 3 \ln |x| + \dfrac{2}{x} + 5 \ln |x - 2| - 7 \ln |x + 2| + C } \]

Solución: \( \textbf{37.c)} \quad \int \dfrac{x^2 + x + 1}{x^3 - 4x^2 + 4x} \, dx \) \( \textbf{Paso 1:} \quad \text{Factorizamos el denominador:} \) \[ x^3 - 4x^2 + 4x = x(x^2 - 4x + 4) = x(x - 2)^2 \] Entonces: \[ \int \dfrac{x^2 + x + 1}{x(x - 2)^2} \, dx \] \( \textbf{Paso 2:} \quad \text{Planteamos la descomposición en fracciones simples:} \) \[ \dfrac{x^2 + x + 1}{x(x - 2)^2} = \dfrac{A}{x} + \dfrac{B}{x - 2} + \dfrac{C}{(x - 2)^2} \] Multiplicamos por \( x(x - 2)^2 \) en ambos lados: \[ x^2 + x + 1 = A(x - 2)^2 + Bx(x - 2) + Cx \] Expandimos: - \( A(x - 2)^2 = A(x^2 - 4x + 4) = Ax^2 - 4Ax + 4A \) - \( Bx(x - 2) = Bx^2 - 2Bx \) - \( Cx = Cx \) Sumamos todos los términos: \[ x^2 + x + 1 = (A + B)x^2 + (-4A - 2B + C)x + 4A \] Igualamos los coeficientes: \[ \begin{cases} A + B = 1 \\ -4A - 2B + C = 1 \\ 4A = 1 \end{cases} \] De la tercera ecuación: \[ 4A = 1 \Rightarrow A = \dfrac{1}{4} \] Sustituimos en la primera: \[ \dfrac{1}{4} + B = 1 \Rightarrow B = \dfrac{3}{4} \] Sustituimos en la segunda: \[ -4\left(\dfrac{1}{4}\right) - 2\left(\dfrac{3}{4}\right) + C = 1 \Rightarrow -1 - \dfrac{3}{2} + C = 1 \Rightarrow C = 1 + \dfrac{5}{2} = \dfrac{7}{2} \] \( \textbf{Paso 3:} \quad \text{Sustituimos la descomposición en la integral:} \) \[ \int \left( \dfrac{1}{4x} + \dfrac{3}{4(x - 2)} + \dfrac{7}{2(x - 2)^2} \right) dx \] \( \textbf{Paso 4:} \quad \text{Integramos término a término:} \) \[ \int \dfrac{1}{4x} \, dx = \dfrac{1}{4} \ln |x|, \quad \int \dfrac{3}{4(x - 2)} \, dx = \dfrac{3}{4} \ln |x - 2|, \quad \int \dfrac{7}{2(x - 2)^2} \, dx = -\dfrac{7}{2(x - 2)} \] \( \textbf{Resultado final:} \) \[ \boxed{ \int \dfrac{x^2 + x + 1}{x(x - 2)^2} \, dx = \dfrac{1}{4} \ln |x| + \dfrac{3}{4} \ln |x - 2| - \dfrac{7}{2(x - 2)} + C } \]

Solución: \( \textbf{Paso 1:} \quad \text{Descomponemos el numerador para facilitar la integración.} \) Observamos que: \[ x^2 = (x^2 + 3) - 3 \] Entonces: \[ \int \dfrac{x^2}{x^2 + 3} \, dx = \int \dfrac{(x^2 + 3) - 3}{x^2 + 3} \, dx = \int \left( 1 - \dfrac{3}{x^2 + 3} \right) dx \] \( \textbf{Paso 2:} \quad \text{Integramos término a término:} \) \[ \int \left( 1 - \dfrac{3}{x^2 + 3} \right) dx = \int 1 \, dx - 3 \int \dfrac{1}{x^2 + 3} \, dx \] \[ = x - 3 \int \dfrac{1}{x^2 + 3} \, dx \] \( \textbf{Paso 3:} \quad \text{Usamos la fórmula: } \int \dfrac{1}{x^2 + a^2} dx = \dfrac{1}{a} \arctan\left( \dfrac{x}{a} \right) \) Aquí, \( a^2 = 3 \Rightarrow a = \sqrt{3} \), entonces: \[ \int \dfrac{1}{x^2 + 3} \, dx = \dfrac{1}{\sqrt{3}} \arctan\left( \dfrac{x}{\sqrt{3}} \right) \] \( \textbf{Resultado final:} \) \[ \boxed{ \int \dfrac{x^2}{x^2 + 3} \, dx = x - \dfrac{3}{\sqrt{3}} \arctan\left( \dfrac{x}{\sqrt{3}} \right) + C = x - \sqrt{3} \arctan\left( \dfrac{x}{\sqrt{3}} \right) + C } \]