Ejercicio - Integrales definidas: propiedades
Ejercicio de Integrales
\( \textbf{Ejercicio.} \) Calcula la derivada de la función F(x):
a) \( F(x) = \displaystyle \int_0^x \sqrt{1 + t^6} \, dt \)
b) \( F(x) = \displaystyle \int_x^3 \dfrac{1}{t^2 + 4} \, dt \)
c) \( F(x) = \displaystyle \int_0^{x^3} \sqrt[3]{t^2 + 1} \, dt \)
d) \( F(x) = \displaystyle \int_2^x \sqrt{\sin t} \, dt \)
e) \( F(x) = \displaystyle \int_{-x}^x \cos(t^2 + 1) \, dt \)
f) \( F(x) = \displaystyle \int_{x^2}^{x^3} \dfrac{1}{1 - t^2} \, dt \)
Solución de los Apartados
a) \( F(x) = \displaystyle \int_0^x \sqrt{1 + t^6} \, dt \)
Solución: \( \textbf{Paso 1:} \quad \text{Aplicamos el Teorema Fundamental del Cálculo:} \) Si \( F(x) = \displaystyle \int_a^x f(t) \, dt \), entonces: \[ F'(x) = f(x) \] En este caso, la función bajo el signo de integración es: \[ f(t) = \sqrt{1 + t^6} \] Por tanto, aplicando el teorema: \[ F'(x) = \sqrt{1 + x^6} \] \( \textbf{Resultado final:} \) \[ \boxed{F'(x) = \sqrt{1 + x^6}} \]
b) \( F(x) = \displaystyle \int_x^3 \dfrac{1}{t^2 + 4} \, dt \)
Solución: \( \textbf{Paso 1:} \quad \text{Reescribimos el integral con límites en orden ascendente.} \) Sabemos que: \[ \int_a^b f(t) \, dt = -\int_b^a f(t) \, dt \] Por tanto: \[ F(x) = \int_x^3 \dfrac{1}{t^2 + 4} \, dt = -\int_3^x \dfrac{1}{t^2 + 4} \, dt \] \( \textbf{Paso 2:} \quad \text{Aplicamos el Teorema Fundamental del Cálculo:} \) \[ F'(x) = -\dfrac{1}{x^2 + 4} \] \( \textbf{Resultado final:} \) \[ \boxed{F'(x) = -\dfrac{1}{x^2 + 4}} \]
c) \( F(x) = \displaystyle \int_0^{x^3} \sqrt[3]{t^2 + 1} \, dt \)
Solución: \( \textbf{Paso 1:} \quad \text{Reescribimos el integral con límites en orden ascendente.} \) Sabemos que: \[ \int_a^b f(t) \, dt = -\int_b^a f(t) \, dt \] Por tanto: \[ F(x) = \int_x^3 \dfrac{1}{t^2 + 4} \, dt = -\int_3^x \dfrac{1}{t^2 + 4} \, dt \] \( \textbf{Paso 2:} \quad \text{Aplicamos el Teorema Fundamental del Cálculo:} \) \[ F'(x) = -\dfrac{1}{x^2 + 4} \] \( \textbf{Resultado final:} \) \[ \boxed{F'(x) = -\dfrac{1}{x^2 + 4}} \]
d) \( F(x) = \displaystyle \int_2^x \sqrt{\sin t} \, dt \)
Solución: \( \textbf{Paso 1:} \quad \text{Aplicamos el Teorema Fundamental del Cálculo:} \) Si \( F(x) = \displaystyle \int_a^x f(t) \, dt \), entonces: \[ F'(x) = f(x) \] Aquí, \( f(t) = \sqrt{\sin t} \), por tanto: \[ F'(x) = \sqrt{\sin x} \] \( \textbf{Resultado final:} \) \[ \boxed{F'(x) = \sqrt{\sin x}} \]
e) \( F(x) = \displaystyle \int_{-x}^x \cos(t^2 + 1) \, dt \)
Solución: \( \textbf{Paso 1:} \quad \text{Observamos que esta es una integral definida con límites simétricos.} \) Verificamos la paridad de la función integrando: \[ f(t) = \cos(t^2 + 1) \] Como \( t^2 + 1 \) es par (pues \( (-t)^2 = t^2 \)), entonces \( f(t) \) también es par: \[ f(-t) = \cos((-t)^2 + 1) = \cos(t^2 + 1) = f(t) \] Por tanto, \( f(t) \) es par y se cumple que: \[ F(x) = \int_{-x}^{x} \cos(t^2 + 1) \, dt = 2 \int_0^x \cos(t^2 + 1) \, dt \] \( \textbf{Paso 2:} \quad \text{Derivamos usando la regla de la cadena:} \) Usamos que: \[ \dfrac{d}{dx} \left( \int_a^{x} f(t) \, dt \right) = f(x) \quad \text{y} \quad \dfrac{d}{dx} \left( \int_{-x}^{x} f(t) \, dt \right) = f(x) + f(-x) \cdot (-1) \] Pero como \( f \) es par: \( f(-x) = f(x) \), así que: \[ F'(x) = f(x) + (-1) \cdot f(x) = 2f(x) = 2 \cos(x^2 + 1) \] \( \textbf{Resultado final:} \) \[ \boxed{F'(x) = 2 \cos(x^2 + 1)} \]
f) \( F(x) = \displaystyle \int_{x^2}^{x^3} \dfrac{1}{1 - t^2} \, dt \)
Solución: \( \textbf{Paso 1:} \quad \text{Tenemos una integral con límites variables en función de } x. \) Usamos la regla general de derivación de una integral con ambos límites dependientes de \( x \): \[ \frac{d}{dx} \left( \int_{g(x)}^{h(x)} f(t) \, dt \right) = f(h(x)) \cdot h'(x) - f(g(x)) \cdot g'(x) \] Aquí: \[ f(t) = \dfrac{1}{1 - t^2}, \quad g(x) = x^2, \quad h(x) = x^3 \] Derivadas: \[ g'(x) = 2x, \quad h'(x) = 3x^2 \] Aplicamos la fórmula: \[ F'(x) = \dfrac{1}{1 - (x^3)^2} \cdot 3x^2 - \dfrac{1}{1 - (x^2)^2} \cdot 2x \] Simplificamos las potencias: \[ F'(x) = \dfrac{3x^2}{1 - x^6} - \dfrac{2x}{1 - x^4} \] \( \textbf{Resultado final:} \) \[ \boxed{F'(x) = \dfrac{3x^2}{1 - x^6} - \dfrac{2x}{1 - x^4}} \]