Ejercicio - Teorema Fundamental del Cálculo y Regla de Barrow

Solución: \( \textbf{Paso 1:} \quad \text{Encontramos los puntos de corte con el eje } OX. \) \[ x^3 - x^2 - 6x = 0 \Rightarrow x(x^2 - x - 6) = 0 \Rightarrow x(x - 3)(x + 2) = 0 \] Por tanto, los puntos de corte son: \[ x = -2, \quad x = 0, \quad x = 3 \] \( \textbf{Paso 2:} \quad \text{Planteamos el área total como suma de áreas absolutas entre raíces consecutivas:} \) \[ A = \left| \int_{-2}^0 (x^3 - x^2 - 6x) \, dx \right| + \left| \int_{0}^{3} (x^3 - x^2 - 6x) \, dx \right| \] \( \textbf{Paso 3:} \quad \text{Calculamos la integral indefinida:} \) \[ \int (x^3 - x^2 - 6x) \, dx = \frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{3} - 3x^2 \] \( \textbf{Paso 4:} \quad \text{Evaluamos en cada intervalo:} \) Primera parte: \[ \int_{-2}^0 (x^3 - x^2 - 6x) \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{3} - 3x^2 \right]_{-2}^{0} \] Evaluamos: \[ \left( \frac{0^4}{4} - \frac{0^3}{3} - 3 \cdot 0^2 \right) - \left( \frac{(-2)^4}{4} - \frac{(-2)^3}{3} - 3 \cdot (-2)^2 \right) \] \[ = 0 - \left( \frac{16}{4} + \frac{8}{3} - 12 \right) = -\left( 4 + \frac{8}{3} - 12 \right) = -\left( \frac{12}{3} + \frac{8}{3} - \frac{36}{3} \right) = -\left( \frac{-16}{3} \right) = \frac{16}{3} \] Segunda parte: \[ \int_0^3 (x^3 - x^2 - 6x) \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{3} - 3x^2 \right]_0^3 \] Evaluamos: \[ \left( \frac{81}{4} - \frac{27}{1} - 27 \right) = \frac{81}{4} - 54 = \frac{81 - 216}{4} = -\frac{135}{4} \] \[ \Rightarrow \left| \int_0^3 (x^3 - x^2 - 6x) \, dx \right| = \frac{135}{4} \] \( \textbf{Paso 5:} \quad \text{Sumamos ambas áreas:} \) \[ A = \left| \int_{-2}^0 \ldots \right| + \left| \int_0^3 \ldots \right| = \frac{16}{3} + \frac{135}{4} \] Mínimo común denominador: \( \text{mcm}(3,4) = 12 \) \[ \frac{16}{3} = \frac{64}{12}, \quad \frac{135}{4} = \frac{405}{12} \] \[ A = \frac{64 + 405}{12} = \frac{469}{12} \] \( \textbf{Resultado final:} \) \[ \boxed{A = \dfrac{469}{12} \quad \text{ unidades cuadradas }} \]