Ejercicio - Resolución de sistemas: Regla de Cramer

Solución: \( \textbf{Paso 1:} \quad \text{Representamos el sistema en forma matricial aumentada.} \) \[ A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 3 & -2 & -1 \\ 5 & -1 & 2 \end{pmatrix}, \quad A^* = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 & \vert & 2 \\ 3 & -2 & -1 & \vert & 3 \\ 5 & -1 & 2 & \vert & 5 \end{pmatrix} \] \( \textbf{Paso 2:} \quad \text{Determinamos el rango de la matriz de coeficientes y de la ampliada.} \) Calculamos los rangos de \( A \) y \( A^* \). Observamos que ambos tienen rango 2 (por menores no nulos de orden 2), pero como el número de incógnitas es 3: \[ \operatorname{Rg}(A) = \operatorname{Rg}(A^*) = 2 < 3 \Rightarrow \text{Sistema compatible indeterminado (SCI)} \] \( \textbf{Paso 3:} \quad \text{Tomamos } z = \lambda \text{ como parámetro libre.} \) Sustituimos \( z = \lambda \) y reescribimos el sistema con dos incógnitas: \[ \begin{cases} 2x + y + 3\lambda = 2 \\ 3x - 2y - \lambda = 3 \end{cases} \] \( \textbf{Paso 4:} \quad \text{Planteamos la matriz del sistema con } \lambda \text{ y resolvemos por Cramer.} \) Matriz de coeficientes: \[ A' = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -2 \end{pmatrix}, \quad \left|A'\right| = -7 \] Determinantes para \( x \) y \( y \): \[ \left|A'_x\right| = \begin{vmatrix} 2 - 3\lambda & 1 \\ -1 + 2\lambda & -2 \end{vmatrix} = (-7 + 5\lambda) \] \[ \left|A'_y\right| = \begin{vmatrix} 2 & 2 - 3\lambda \\ 3 & -1 + 2\lambda \end{vmatrix} = 11\lambda \] Aplicamos regla de Cramer: \[ x = \dfrac{-7 + 5\lambda}{-7} = 1 - \dfrac{5}{7}\lambda, \quad y = \dfrac{11\lambda}{-7} = -\dfrac{11}{7} \lambda, \quad z = \lambda \] \( \textbf{Solución general del sistema:} \) \[ \boxed{ \begin{cases} x = 1 - \dfrac{5}{7} \lambda \\ y = -\dfrac{11}{7} \lambda \\ z = \lambda \end{cases} \quad \lambda \in \mathbb{R} } \]