Ejercicio - Resolución de sistemas: Regla de Cramer

Solución: \( \textbf{Paso 1:} \quad \text{Expresamos el sistema en forma matricial:} \) Matriz de coeficientes: \[ A = \begin{pmatrix} 5 & 5 & 2 \\ 1 & 3 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \end{pmatrix} \quad \text{y vector de términos independientes:} \quad \vec{b} = \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \] Matriz ampliada: \[ A^* = \left( A \, | \, \vec{b} \right) = \begin{pmatrix} 5 & 5 & 2 & | & 5 \\ 1 & 3 & 0 & | & -1 \\ 0 & 2 & 2 & | & 2 \end{pmatrix} \] \( \textbf{Paso 2:} \quad \text{Calculamos los rangos de } A \text{ y } A^*. \) \[ \operatorname{Rg}(A) = \operatorname{Rg}(A^*) = 3 \Rightarrow \text{SCD (Sistema compatible determinado)} \] Como el sistema es compatible determinado y el número de incógnitas es 3, lo resolvemos por la regla de Cramer. \( \textbf{Paso 3:} \quad \text{Calculamos el determinante de la matriz } A. \) \[ |A| = \begin{vmatrix} 5 & 5 & 2 \\ 1 & 3 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \end{vmatrix} = 5 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 0 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} - 5 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} + 2 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} \] \[ = 5(3 \cdot 2 - 0 \cdot 2) - 5(1 \cdot 2 - 0 \cdot 0) + 2(1 \cdot 2 - 0 \cdot 3) = 5(6) - 5(2) + 2(2) = 30 - 10 + 4 = 24 \] \( \textbf{Paso 4:} \quad \text{Calculamos los determinantes de } A_x, A_y, A_z. \) Matriz \( A_x \): sustituimos la primera columna por el vector de términos independientes: \[ A_x = \begin{pmatrix} 5 & 5 & 2 \\ -1 & 3 & 0 \\ 2 & 2 & 2 \end{pmatrix} \Rightarrow |A_x| = 24 \] Matriz \( A_y \): \[ A_y = \begin{pmatrix} 5 & 5 & 2 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \end{pmatrix} \Rightarrow |A_y| = -16 \] Matriz \( A_z \): \[ A_z = \begin{pmatrix} 5 & 5 & 5 \\ 1 & 3 & -1 \\ 0 & 2 & 2 \end{pmatrix} \Rightarrow |A_z| = 40 \] \( \textbf{Paso 5:} \quad \text{Aplicamos la regla de Cramer:} \) \[ x = \dfrac{|A_x|}{|A|} = \dfrac{24}{24} = 1 \] \[ y = \dfrac{|A_y|}{|A|} = \dfrac{-16}{24} = -\dfrac{2}{3} \] \[ z = \dfrac{|A_z|}{|A|} = \dfrac{40}{24} = \dfrac{5}{3} \] \( \textbf{Solución final:} \) \[ \boxed{ x = 1, \quad y = -\dfrac{2}{3}, \quad z = \dfrac{5}{3} } \]