Ejercicio - Probabilidad condicionada

Solución: Queremos calcular la probabilidad de obtener exactamente dos cartas de copas al sacar 4 cartas al azar de una baraja de 40 cartas. Sabemos que hay \( 10 \) cartas de copas en la baraja. Para que haya exactamente dos copas, deben salir dos cartas de copas y dos que no lo sean (oros, espadas o bastos). Una de las posibles combinaciones es que las dos primeras cartas sean copas y las dos últimas no lo sean. Calculamos la probabilidad de esta secuencia: \[ P(C_1 \cap C_2 \cap \overline{C}_3 \cap \overline{C}_4) = \frac{10}{40} \cdot \frac{9}{39} \cdot \frac{30}{38} \cdot \frac{29}{37} \] \[ = 0{,}0357 \] Sin embargo, esta no es la única forma de obtener exactamente dos cartas de copas. Existen diferentes maneras de ordenar dos copas y dos no copas entre las cuatro cartas extraídas. Los posibles órdenes con exactamente dos copas (denotadas como \( C \)) y dos no copas (denotadas como \( \overline{C} \)) son: \[ CC\overline{C}\overline{C},\ C\overline{C}C\overline{C},\ C\overline{C}\overline{C}C,\ \overline{C}CC\overline{C},\ \overline{C}C\overline{C}C,\ \overline{C}\overline{C}CC \] Hay en total \( \binom{4}{2} = 6 \) combinaciones distintas. Cada una de ellas tiene exactamente la misma probabilidad, ya que sólo cambia el orden, pero las fracciones que se multiplican son las mismas, por la propiedad conmutativa del producto. Por tanto, la probabilidad total de obtener exactamente dos copas es: \[ P(\text{2 copas}) = 6 \cdot 0{,}0357 = 0{,}2142 \]