Ejercicio - Resolución de sistemas – Método de Gauss

Ejercicio de Sistemas de ecuaciones

\( \textbf{Ejercicio.} \) Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el método de Gauss:

\[ \begin{cases} x - y - z = -1 \\ 3x + 2y - 2z = 0 \\ x + y + z = 5 \end{cases} \]

Solución de los Apartados

\[ \begin{cases} x - y - z = -1 \\ 3x + 2y - 2z = 0 \\ x + y + z = 5 \end{cases} \]

Solución: \( \textbf{Paso 1:} \quad \text{Escribimos la matriz aumentada del sistema.} \) \[ \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & -1 & -1 \\ 3 & 2 & -2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 5 \end{array} \right) \] \( \textbf{Paso 2:} \quad \text{Eliminamos los elementos debajo del primer pivote (1 en la primera fila).} \) Operaciones: \[ F_2 \leftarrow F_2 - 3F_1, \quad F_3 \leftarrow F_3 - F_1 \] \[ \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & -1 & -1 \\ 0 & 5 & 1 & 3 \\ 0 & 2 & 2 & 6 \end{array} \right) \] \( \textbf{Paso 3:} \quad \text{Eliminamos el 2 de la fila 3 (segunda columna).} \) \[ F_3 \leftarrow F_3 - 2F_2 \] \[ \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & -1 & -1 \\ 0 & 5 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & -8 & 0 \end{array} \right) \] \( \textbf{Paso 4:} \quad \text{Sustitución regresiva.} \) Última ecuación: \[ -8z = 0 \Rightarrow z = 0 \] Segunda ecuación: \[ 5y + z = 3 \Rightarrow 5y = 3 \Rightarrow y = \dfrac{3}{5} \] Primera ecuación: \[ x - y - z = -1 \Rightarrow x = -1 + y + z = -1 + \dfrac{3}{5} + 0 = -\dfrac{2}{5} \] \( \textbf{Solución final:} \) \[ \boxed{ x = -\dfrac{2}{5}, \quad y = \dfrac{3}{5}, \quad z = 0 } \]