Ejercicio - Continuidad de funciones derivables
Ejercicio de Derivadas
\( \textbf{Ejercicio.} \) Considera la siguiente función y responde a las preguntas: \[ f(x) = \begin{cases} e^{-x} - 1 & \text{si } x \leq 0 \\ x^2 + x & \text{si } x > 0 \end{cases} \]
a) ¿Es continua en el punto \( x = 0 \)?
b) ¿Es derivable en el punto \( x = 0 \)?
c) ¿Tiene algún extremo?
Solución de los Apartados
a) ¿Es continua en el punto \( x = 0 \)?
Solución: La función está definida a trozos como: \[ f(x) = \begin{cases} e^{-x} - 1 & \text{si } x \leq 0 \\ x^2 + x & \text{si } x > 0 \end{cases} \] Para que la función sea continua en \( x = 0 \), deben cumplirse las tres condiciones de continuidad: 1. \( f(0) \) está definida. 2. Existe \( \lim_{x \to 0} f(x) \). 3. \( \lim_{x \to 0} f(x) = f(0) \) Veamos cada una de ellas: \( \textbf{1. Valor de la función en } x = 0 \) Como \( x = 0 \leq 0 \), usamos la primera rama: \[ f(0) = e^{-0} - 1 = 1 - 1 = 0 \] \( \textbf{2. Cálculo del límite por la izquierda:} \) \[ \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (e^{-x} - 1) = e^{0} - 1 = 1 - 1 = 0 \] \( \textbf{3. Cálculo del límite por la derecha:} \) \[ \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (x^2 + x) = 0^2 + 0 = 0 \] Ambos límites laterales coinciden: \[ \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = 0 \] Y también coinciden con el valor de la función: \[ \lim_{x \to 0} f(x) = f(0) = 0 \] \( \textbf{Conclusión:} \) \[ \boxed{\text{La función } f(x) \text{ es continua en } x = 0} \]
b) ¿Es derivable en el punto \( x = 0 \)?
Solución: La función viene definida a trozos como: \[ f(x) = \begin{cases} e^{-x} - 1 & \text{si } x \leq 0 \\ x^2 + x & \text{si } x > 0 \end{cases} \] Para que la función sea derivable en \( x = 0 \), se deben cumplir: - La función debe ser continua en \( x = 0 \) (ya demostrado en el apartado a). - Los límites laterales de la derivada deben coincidir en \( x = 0 \). Calculamos la derivada de cada rama: \[ f'(x) = \begin{cases} \dfrac{d}{dx}(e^{-x} - 1) = -e^{-x} & \text{si } x < 0 \\ \dfrac{d}{dx}(x^2 + x) = 2x + 1 & \text{si } x > 0 \end{cases} \] Ahora calculamos los límites laterales de la derivada en \( x = 0 \): \( \textbf{Límite por la izquierda:} \) \[ \lim_{x \to 0^-} f'(x) = \lim_{x \to 0^-} (-e^{-x}) = -e^{0} = -1 \] \( \textbf{Límite por la derecha:} \) \[ \lim_{x \to 0^+} f'(x) = \lim_{x \to 0^+} (2x + 1) = 2 \cdot 0 + 1 = 1 \] Los límites laterales no coinciden: \[ \lim_{x \to 0^-} f'(x) = -1 \quad \neq \quad \lim_{x \to 0^+} f'(x) = 1 \] \( \textbf{Conclusión:} \) \[ \boxed{\text{La función no es derivable en } x = 0} \]
c) ¿Tiene algún extremo?
Solución: Recordamos que la función es: \[ f(x) = \begin{cases} e^{-x} - 1 & \text{si } x \leq 0 \\ x^2 + x & \text{si } x > 0 \end{cases} \] Y la derivada (ya calculada en el apartado b) es: \[ f'(x) = \begin{cases} - e^{-x} & \text{si } x < 0 \\ 2x + 1 & \text{si } x > 0 \end{cases} \] Buscamos extremos relativos. Un extremo puede encontrarse en puntos donde: - La derivada se anula: \( f'(x) = 0 \) - La derivada no existe (como en \( x = 0 \)) \textbf{Estudio para } \( x < 0 \): \[ f'(x) = -e^{-x} \quad \text{es siempre negativa (ya que } e^{-x} > 0) \Rightarrow f(x) \text{ es estrictamente decreciente} \] \textbf{Estudio para } \( x > 0 \): \[ f'(x) = 2x + 1 \quad \Rightarrow \quad f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = -\dfrac{1}{2} \] Pero \( -\dfrac{1}{2} \notin (0, +\infty) \), por tanto, no hay extremos en \( x > 0 \). \textbf{¿Y en } \( x = 0 \)? Ya sabemos que: - La función es continua en \( x = 0 \) - No es derivable en \( x = 0 \) - \( f'(x) < 0 \) en la izquierda - \( f'(x) > 0 \) en la derecha \[ \Rightarrow \text{ La función pasa de decrecer a crecer en } x = 0 \] Por tanto: \[ \boxed{ \text{La función tiene un mínimo relativo en } x = 0 } \] \textbf{Valor del mínimo:} \[ f(0) = e^{0} - 1 = 0 \Rightarrow \text{mínimo en el punto } (0, 0) \] \[ \boxed{ \text{Mínimo relativo en } x = 0 \text{ de valor } f(0) = 0 } \]