Ejercicio - Continuidad de funciones derivables

Solución: Ambos trozos de la función son continuos, ya que son polinomios. Veamos qué ocurre en la unión de los tramos: \[ \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (2 - x)^3 = (2 - 1)^3 = 1 \] \[ \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} x^2 = 1^2 = 1 \] Los límites laterales coinciden, así que la función es continua en \( x = 1 \) y, por tanto, en toda la recta real.

Solución: Vamos a estudiar si la función es derivable en toda la recta real. Recordamos que la derivabilidad implica continuidad. Como ya hemos comprobado en el apartado anterior que \( f(x) \) es continua en toda \( \mathbb{R} \), ahora nos centramos en estudiar la derivabilidad, especialmente en el punto de unión \( x = 1 \), ya que en los intervalos donde cada expresión es un polinomio, la función es derivable. Derivamos cada rama de la función: \[ f(x) = \begin{cases} (2 - x)^3 & \text{si } x \leq 1 \\ x^2 & \text{si } x > 1 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad f'(x) = \begin{cases} -3(2 - x)^2 & \text{si } x < 1 \\ 2x & \text{si } x > 1 \end{cases} \] Estudiamos el comportamiento de la derivada en \( x = 1 \) desde ambos lados: \[ \lim_{x \to 1^-} f'(x) = \lim_{x \to 1^-} -3(2 - x)^2 = -3(2 - 1)^2 = -3 \] \[ \lim_{x \to 1^+} f'(x) = \lim_{x \to 1^+} 2x = 2 \cdot 1 = 2 \] Como los límites laterales de la derivada no coinciden: \[ \lim_{x \to 1^-} f'(x) \neq \lim_{x \to 1^+} f'(x) \] la derivada no existe en \( x = 1 \). Por tanto, la función \( f(x) \) no es derivable en \( x = 1 \), y en consecuencia, no es derivable en toda la recta real.