Ejercicio resuelto de Continuidad de funciones derivables (3 de 3)

Solución: Estudiamos la continuidad y la derivabilidad de la función: \[ f(x) = \begin{cases} \sqrt[3]{x - 2} & \text{si } x \geq 2 \\ x(x - 2) & \text{si } x < 2 \end{cases} \] Ambos tramos son funciones elementales: el primero es una raíz cúbica y el segundo un polinomio. Por tanto, cada uno de ellos es continuo en su dominio respectivo. Veamos qué ocurre en el punto \( x = 2 \): \[ \lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} \sqrt[3]{x - 2} = \sqrt[3]{2 - 2} = 0 \] \[ \lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} x(x - 2) = 2 \cdot (2 - 2) = 0 \] Los límites laterales coinciden y además \( f(2) = \sqrt[3]{2 - 2} = 0 \), por tanto: \[ \lim_{x \to 2} f(x) = f(2) \] La función es continua en \( x = 2 \), y por tanto, en toda la recta real. Estudiamos ahora la derivabilidad. Derivamos cada rama de la función: \[ f(x) = \begin{cases} \sqrt[3]{x - 2} & \text{si } x \geq 2 \\ x^2 - 2x & \text{si } x < 2 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad f'(x) = \begin{cases} \frac{1}{3\sqrt[3]{(x - 2)^2}} & \text{si } x > 2 \\ 2x - 2 & \text{si } x < 2 \end{cases} \] Estudiamos el comportamiento de la derivada en \( x = 2 \): \[ \lim_{x \to 2^+} f'(x) = \lim_{x \to 2^+} \frac{1}{3\sqrt[3]{(x - 2)^2}} = \infty \] \[ \lim_{x \to 2^-} f'(x) = \lim_{x \to 2^-} (2x - 2) = 2 \cdot 2 - 2 = 2 \] Como los límites laterales de la derivada no coinciden (uno de ellos tiende a infinito), concluimos que: \[ \text{La función no es derivable en } x = 2 \]

Solución: Queremos hallar la ecuación cartesiana de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto \( (3, 1) \). Primero identificamos en qué tramo está el punto \( x = 3 \). Como \( 3 \geq 2 \), usamos la rama: \[ f(x) = \sqrt[3]{x - 2} \] Calculamos la derivada de esta rama para obtener la pendiente de la tangente en \( x = 3 \): \[ f'(x) = \frac{1}{3\sqrt[3]{(x - 2)^2}} \] Evaluamos en \( x = 3 \): \[ f'(3) = \frac{1}{3\sqrt[3]{(3 - 2)^2}} = \frac{1}{3\sqrt[3]{1}} = \frac{1}{3} \] El valor de la función en ese punto ya lo tenemos dado: \( f(3) = 1 \). Entonces, el punto de tangencia es \( (3, 1) \) y la pendiente es: \[ m = \frac{1}{3} \] Usamos la fórmula punto-pendiente de la recta tangente: \[ y - f(a) = f'(a)(x - a) \] Sustituimos \( a = 3 \), \( f(3) = 1 \) y \( f'(3) = \frac{1}{3} \): \[ y - 1 = \frac{1}{3}(x - 3) \] Despejamos: \[ y = \frac{1}{3}x - 1 \] Por tanto, la ecuación de la recta tangente es: \[ \boxed{y = \frac{1}{3}x - 1} \]