Ejercicio - Monotonía y curvatura de una función

Solución: Queremos estudiar la continuidad y la derivabilidad de la función en \( x = 0 \): \[ f(x) = \begin{cases} x & \text{si } x \leq 0 \\ x \ln x & \text{si } x > 0 \end{cases} \] Primero analizamos la continuidad. Calculamos los límites laterales en \( x = 0 \): \[ \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} x = 0 \] \[ \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} x \ln x \] Aplicamos el cambio de variable \( x = \frac{1}{t} \) con \( t \to +\infty \), o razonamos que: \[ \lim_{x \to 0^+} x \ln x = 0 \] porque \( \ln x \to -\infty \) y \( x \to 0 \), pero \( x \ln x \to 0 \) (límite notable). Entonces: \[ \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = 0 = f(0) \] Por tanto, la función es continua en \( x = 0 \). Ahora estudiamos la derivabilidad. Derivamos cada rama: \[ f'(x) = \begin{cases} 1 & \text{si } x < 0 \\ \ln x + 1 & \text{si } x > 0 \end{cases} \] Calculamos los límites laterales de la derivada: \[ \lim_{x \to 0^-} f'(x) = 1 \] \[ \lim_{x \to 0^+} f'(x) = \lim_{x \to 0^+} (\ln x + 1) = -\infty \] Como los límites laterales de la derivada no coinciden: \[ \lim_{x \to 0^-} f'(x) \neq \lim_{x \to 0^+} f'(x) \] la función no es derivable en \( x = 0 \).

Solución: Estudiamos la monotonía de la función y determinamos si existen máximos o mínimos relativos. Recordamos la definición de la función: \[ f(x) = \begin{cases} x & \text{si } x \leq 0 \\ x \ln x & \text{si } x > 0 \end{cases} \] La función no es derivable en \( x = 0 \), por tanto, analizamos la derivada por tramos. En el tramo \( x < 0 \), \( f(x) = x \), cuya derivada es: \[ f'(x) = 1 \] Esto implica que la función es estrictamente creciente en \( (-\infty, 0) \). En el tramo \( x > 0 \), la derivada es: \[ f'(x) = \ln x + 1 \] Anulamos la derivada para encontrar puntos críticos: \[ \ln x + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad \ln x = -1 \quad \Rightarrow \quad x = e^{-1} \] Evaluamos el signo de la derivada alrededor de \( x = e^{-1} \): - Si \( x < e^{-1} \), entonces \( \ln x + 1 < 0 \) → \( f'(x) < 0 \) - Si \( x > e^{-1} \), entonces \( \ln x + 1 > 0 \) → \( f'(x) > 0 \) Por tanto, en \( x = e^{-1} \) la derivada cambia de negativa a positiva: hay un mínimo relativo. Verificamos con la segunda derivada: \[ f''(x) = \frac{1}{x} \quad \Rightarrow \quad f''(e^{-1}) = \frac{1}{e^{-1}} = e > 0 \] Como la segunda derivada es positiva en \( x = e^{-1} \), se confirma que hay un mínimo relativo. \[ \boxed{\text{Hay un mínimo relativo en } x = e^{-1}} \]