Ejercicio - Monotonía y curvatura de una función

Solución: Nos dan la derivada de una función \( f(x) \): \[ f'(x) = (x - 4)^2 \cdot (x^2 - 8x + 7) \] Para estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, analizamos el signo de \( f'(x) \), que puede cambiar únicamente en los puntos donde \( f'(x) = 0 \) o donde no existe. Como la expresión es un polinomio, \( f'(x) \) existe en toda la recta real, así que igualamos a cero: \[ f'(x) = (x - 4)^2 \cdot (x^2 - 8x + 7) = 0 \] Resolvemos cada factor por separado: \[ (x - 4)^2 = 0 \Rightarrow x = 4 \] \[ x^2 - 8x + 7 = 0 \Rightarrow x = 1 \quad \text{y} \quad x = 7 \] Por tanto, los puntos críticos son: \( x = 1 \), \( x = 4 \), \( x = 7 \) Estudiamos el signo de \( f'(x) \) en los intervalos determinados por esos puntos: \[ (-\infty, 1), \quad (1, 4), \quad (4, 7), \quad (7, \infty) \] Tomamos un valor de prueba en cada intervalo: - En \( (-\infty, 1) \), por ejemplo \( x = 0 \): \[ f'(0) = (0 - 4)^2 \cdot (0^2 - 8 \cdot 0 + 7) = 16 \cdot 7 > 0 \Rightarrow f \text{ creciente} \] - En \( (1, 4) \), por ejemplo \( x = 2 \): \[ f'(2) = (2 - 4)^2 \cdot (4 - 16 + 7) = 4 \cdot (-5) < 0 \Rightarrow f \text{ decreciente} \] - En \( (4, 7) \), por ejemplo \( x = 5 \): \[ f'(5) = (1)^2 \cdot (25 - 40 + 7) = 1 \cdot (-8) < 0 \Rightarrow f \text{ decreciente} \] - En \( (7, \infty) \), por ejemplo \( x = 8 \): \[ f'(8) = (4)^2 \cdot (64 - 64 + 7) = 16 \cdot 7 > 0 \Rightarrow f \text{ creciente} \] Entonces, los intervalos de crecimiento y decrecimiento de \( f(x) \) son: \[ \text{Crecimiento: } (-\infty, 1) \cup (7, \infty) \] \[ \text{Decrecimiento: } (1, 4) \cup (4, 7) \]

Solución: Para determinar los máximos y mínimos relativos de \( f(x) \), analizamos los puntos críticos hallados en el apartado anterior: \[ x = 1, \quad x = 4, \quad x = 7 \] Analizamos el signo de \( f'(x) \) a izquierda y derecha de cada punto: Para \( x = 1 \), la derivada cambia de signo positivo a negativo: \[ f'(x) > 0 \text{ en } (-\infty, 1), \quad f'(x) < 0 \text{ en } (1, 4) \] Por tanto, en \( x = 1 \) hay un máximo relativo. Para \( x = 4 \), el término \( (x - 4)^2 \) es siempre positivo y no cambia de signo. Además, la derivada es negativa tanto en \( (1, 4) \) como en \( (4, 7) \): \[ f'(x) < 0 \text{ en ambos lados de } x = 4 \] Por tanto, en \( x = 4 \) no hay ni máximo ni mínimo relativo. Para \( x = 7 \), la derivada cambia de signo negativo a positivo: \[ f'(x) < 0 \text{ en } (4, 7), \quad f'(x) > 0 \text{ en } (7, \infty) \] Por tanto, en \( x = 7 \) hay un mínimo relativo. \[ \textbf{Conclusión:} \] \[ \text{Máximo relativo en } x = 1 \] \[ \text{Mínimo relativo en } x = 7 \]

Solución: Queremos saber si el punto \( x = 4 \) es un punto de inflexión de la función \( f(x) \). Recordamos que un punto de inflexión es un punto en el que la concavidad de la función cambia, es decir, donde la segunda derivada cambia de signo. Partimos de la derivada de la función: \[ f'(x) = (x - 4)^2 \cdot (x^2 - 8x + 7) \] Estudiamos el signo de \( f''(x) \) alrededor de \( x = 4 \). No es necesario calcular explícitamente \( f''(x) \); basta con observar el comportamiento de \( f'(x) \). El término \( (x - 4)^2 \) es siempre positivo (excepto en \( x = 4 \), donde se anula), por lo tanto no cambia de signo. Nos fijamos en el otro factor: \( x^2 - 8x + 7 \). Lo factorizamos: \[ x^2 - 8x + 7 = (x - 1)(x - 7) \] Este trinomio cambia de signo en los puntos \( x = 1 \) y \( x = 7 \), pero no en \( x = 4 \). Además, cerca de \( x = 4 \), el signo de \( f'(x) \) no cambia: ya vimos en el apartado anterior que \( f'(x) < 0 \) a ambos lados de \( x = 4 \). Por tanto, la función no cambia de concavidad en \( x = 4 \), y no hay cambio de signo en la segunda derivada. \[ \text{Conclusión: } x = 4 \text{ no es un punto de inflexión.} \]