Ejercicio - Introducción a los límites

Solución: Determinamos el dominio de la función \( f(x) = \sqrt{4x^2 - x^4} \). Para que la función esté definida, la expresión dentro de la raíz cuadrada debe ser mayor o igual que cero: \[ 4x^2 - x^4 \geq 0 \] Factorizamos la expresión: \[ x^2(4 - x^2) \geq 0 \] El producto \( x^2(4 - x^2) \geq 0 \) se cumple cuando: - \( x^2 \geq 0 \) (siempre cierto para todo \( x \)) - \( 4 - x^2 \geq 0 \Rightarrow x^2 \leq 4 \Rightarrow -2 \leq x \leq 2 \) Por tanto, el dominio es: \[ \text{Dom } f(x) = [-2, 2] \]

Solución: Calculamos el límite lateral por la izquierda: \[ \lim_{x \to 0^-} \sqrt{4x^2 - x^4} \] Sustituimos: \[ = \sqrt{4 \cdot 0^2 - 0^4} = \sqrt{0} = 0 \] Calculamos el límite lateral por la derecha: \[ \lim_{x \to 0^+} \sqrt{4x^2 - x^4} \] Sustituimos igualmente: \[ = \sqrt{4 \cdot 0^2 - 0^4} = \sqrt{0} = 0 \] Por tanto, ambos límites laterales en \( x = 0 \) existen y son iguales: \[ \lim_{x \to 0^-} \sqrt{4x^2 - x^4} = \lim_{x \to 0^+} \sqrt{4x^2 - x^4} = 0 \]

Solución: La función es \( f(x) = \sqrt{4x^2 - x^4} \), por tanto: \[ \lim_{x \to 0^-} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to 0^-} \frac{\sqrt{4x^2 - x^4}}{x} \] Factorizamos dentro de la raíz: \[ = \lim_{x \to 0^-} \frac{\sqrt{x^2(4 - x^2)}}{x} \] Extraemos \( x \) de la raíz cuadrada: \[ = \lim_{x \to 0^-} \frac{|x|\sqrt{4 - x^2}}{x} \] Como nos acercamos a 0 por la izquierda, \( x < 0 \), por lo tanto \( |x| = -x \). Sustituimos: \[ = \lim_{x \to 0^-} \frac{-x\sqrt{4 - x^2}}{x} = \lim_{x \to 0^-} -\sqrt{4 - x^2} \] Calculamos el límite: \[ = -\sqrt{4 - 0} = -\sqrt{4} = -2 \] Del mismo modo, para el límite por la derecha: \[ \lim_{x \to 0^+} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{4x^2 - x^4}}{x} \] \[ = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x^2(4 - x^2)}}{x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{|x|\sqrt{4 - x^2}}{x} \] Como \( x > 0 \), se tiene \( |x| = x \). Sustituimos: \[ = \lim_{x \to 0^+} \frac{x\sqrt{4 - x^2}}{x} = \lim_{x \to 0^+} \sqrt{4 - x^2} \] \[ = \sqrt{4 - 0} = \sqrt{4} = 2 \] Por tanto: \[ \lim_{x \to 0^-} \frac{f(x)}{x} = -2, \quad \lim_{x \to 0^+} \frac{f(x)}{x} = 2 \]