Ejercicio resuelto de Indeterminaciones (I) (2 de 2)

Solución: Evaluamos directamente sustituyendo \( x = 0 \): \[ \frac{\sqrt{4 + 0} - \sqrt{4 - 0}}{4 \cdot 0} = \frac{\sqrt{4} - \sqrt{4}}{0} = \frac{0}{0} \] Se trata de una indeterminación del tipo \( \frac{0}{0} \), por lo que debemos transformar la expresión. Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del numerador: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{4 + x} - \sqrt{4 - x}}{4x} \cdot \frac{\sqrt{4 + x} + \sqrt{4 - x}}{\sqrt{4 + x} + \sqrt{4 - x}} \] Aplicamos la identidad notable \( (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 \) en el numerador: \[ = \lim_{x \to 0} \frac{(4 + x) - (4 - x)}{4x(\sqrt{4 + x} + \sqrt{4 - x})} \] Simplificamos el numerador: \[ (4 + x) - (4 - x) = 4 + x - 4 + x = 2x \] Sustituimos en la expresión: \[ = \lim_{x \to 0} \frac{2x}{4x(\sqrt{4 + x} + \sqrt{4 - x})} \] Simplificamos \( x \) en numerador y denominador: \[ = \lim_{x \to 0} \frac{2}{4(\sqrt{4 + x} + \sqrt{4 - x})} \] Evaluamos el límite: \[ = \frac{2}{4(\sqrt{4 + 0} + \sqrt{4 - 0})} = \frac{2}{4(\sqrt{4} + \sqrt{4})} \] \[ = \frac{2}{4(2 + 2)} = \frac{2}{4 \cdot 4} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8} \] Por tanto, el valor del límite es: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{4 + x} - \sqrt{4 - x}}{4x} = \frac{1}{8} \]