Ejercicio - Asíntotas y ramas parabólicas

Solución: \( \textbf{Asíntotas verticales:} \) El denominador es \( 4x^2 + 1 \), que nunca se anula, ya que \( 4x^2 \geq 0 \Rightarrow 4x^2 + 1 > 0 \) para todo \( x \in \mathbb{R} \). Por tanto, la función no tiene asíntotas verticales. \( \textbf{Asíntota horizontal:} \) Calculamos el límite cuando \( x \to \infty \): \[ \lim_{x \to \infty} \frac{(2x - 1)^2}{4x^2 + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{4x^2 - 4x + 1}{4x^2 + 1} \] Dividimos numerador y denominador entre \( x^2 \): \[ = \lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{4}{x} + \frac{1}{x^2}}{4 + \frac{1}{x^2}} = \frac{4}{4} = 1 \] Por tanto, la función tiene una asíntota horizontal en \( y = 1 \). \( \textbf{Asíntota oblicua:} \) Como la función tiene asíntota horizontal, no puede tener asíntota oblicua. \( \textbf{Ramas parabólicas:} \) Al haber asíntota horizontal, no hay ramas parabólicas.

Solución: \( \textbf{Asíntotas verticales:} \) El denominador es \( (x^2 + x + 1)^2 \). Como el trinomio \( x^2 + x + 1 \) no tiene raíces reales (su discriminante es negativo), entonces no se anula para ningún valor real de \( x \). Por tanto, no hay asíntotas verticales. \( \textbf{Asíntota horizontal:} \) Calculamos el límite cuando \( x \to \infty \): \[ \lim_{x \to \infty} \frac{2x + 1}{(x^2 + x + 1)^2} \] El numerador es de grado 1 y el denominador es de grado 4, ya que se eleva al cuadrado un polinomio de grado 2. Cuando el grado del denominador es mayor que el del numerador, el límite es 0: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{2x + 1}{(x^2 + x + 1)^2} = 0 \] Por tanto, la función tiene una asíntota horizontal en \( y = 0 \). \( \textbf{Asíntota oblicua:} \) Como la función tiene asíntota horizontal, no puede tener asíntota oblicua. \( \textbf{Ramas parabólicas:} \) Al haber asíntota horizontal, no hay ramas parabólicas.

Solución: \( \textbf{Asíntotas verticales:} \) Analizamos el denominador. La función puede tener una asíntota vertical si el denominador se anula y el numerador no. \[ x + 5 = 0 \Rightarrow x = -5 \] Evaluamos el límite en \( x = -5 \): \[ \lim_{x \to -5} \frac{3x^2 + 5x - 20}{x + 5} \] Sustituimos directamente: \[ \frac{3(-5)^2 + 5(-5) - 20}{-5 + 5} = \frac{75 - 25 - 20}{0} = \frac{30}{0} \] El resultado es una indeterminación de tipo infinito, lo que confirma que hay una asíntota vertical en: \[ x = -5 \] \( \textbf{Asíntota horizontal:} \) Calculamos el límite cuando \( x \to \infty \): \[ \lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 5x - 20}{x + 5} \] El numerador es de grado 2 y el denominador es de grado 1, por tanto el límite es infinito. No existe asíntota horizontal. \[ \lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 5x - 20}{x + 5} = \infty \] Por tanto, no hay asíntota horizontal. \( \textbf{Asíntota oblicua:} \) Como el grado del numerador (2) es exactamente una unidad mayor que el del denominador (1), la función puede tener asíntota oblicua. Calculamos la pendiente \( m \) de la recta: \[ m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 5x - 20}{x(x + 5)} = \lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 5x - 20}{x^2 + 5x} \] Dividimos numerador y denominador entre \( x^2 \): \[ = \lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{5}{x} - \frac{20}{x^2}}{1 + \frac{5}{x}} = \frac{3 + 0 - 0}{1 + 0} = 3 \] Por tanto, \( m = 3 \). Calculamos ahora la ordenada en el origen \( n \): \[ n = \lim_{x \to \infty} \left( f(x) - mx \right) = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{3x^2 + 5x - 20}{x + 5} - 3x \right) \] Escribimos el segundo término con el mismo denominador: \[ = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{3x^2 + 5x - 20 - 3x(x + 5)}{x + 5} \right) \] Desarrollamos: \[ 3x(x + 5) = 3x^2 + 15x \] Entonces: \[ = \lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 5x - 20 - 3x^2 - 15x}{x + 5} = \lim_{x \to \infty} \frac{-10x - 20}{x + 5} \] Dividimos numerador y denominador entre \( x \): \[ = \lim_{x \to \infty} \frac{-10 - \frac{20}{x}}{1 + \frac{5}{x}} = \frac{-10 - 0}{1 + 0} = -10 \] Por tanto, \( n = -10 \). La ecuación de la asíntota oblicua es: \[ y = 3x - 10 \]