Ejercicio - Asíntotas y ramas parabólicas
Ejercicio de Límites y continuidad
\( \textbf{Ejercicio.} \)
Dada la función \( f(x) = \ln(x^2 + 4x - 5) \), determina el dominio de definición y las asíntotas.
Solución de los Apartados
Dada la función \( f(x) = \ln(x^2 + 4x - 5) \), determina el dominio de definición y las asíntotas.
Solución: Dada la función \( f(x) = \ln(x^2 + 4x - 5) \), determinamos su dominio y las asíntotas. \( \textbf{Dominio:} \) Para que \( f(x) \) esté definida, el argumento del logaritmo debe ser estrictamente positivo: \[ x^2 + 4x - 5 > 0 \] Resolvemos la inecuación. Primero factorizamos el trinomio: \[ x^2 + 4x - 5 = (x + 5)(x - 1) \] Entonces: \[ (x + 5)(x - 1) > 0 \] Esta desigualdad se cumple cuando ambos factores son positivos o ambos negativos. El signo del producto cambia en los puntos \( x = -5 \) y \( x = 1 \), por lo que el conjunto solución es: \[ x \in (-\infty, -5) \cup (1, \infty) \] Por tanto, el dominio es: \[ \text{Dom } f(x) = (-\infty, -5) \cup (1, \infty) \] \( \textbf{Asíntotas verticales:} \) El logaritmo tiende a \( -\infty \) cuando su argumento tiende a 0 por valores positivos. Eso ocurre cuando nos acercamos a los extremos del dominio, es decir, cuando \( x \to -5^+ \) y \( x \to 1^- \). En ambos casos el argumento del logaritmo se aproxima a 0, y por tanto: \[ \lim_{x \to -5^+} \ln(x^2 + 4x - 5) = -\infty \quad \text{y} \quad \lim_{x \to 1^-} \ln(x^2 + 4x - 5) = -\infty \] Por tanto, hay asíntotas verticales en: \[ x = -5 \quad \text{y} \quad x = 1 \] \( \textbf{Asíntotas horizontales:} \) Estudiamos el comportamiento en el infinito: \[ \lim_{x \to \infty} \ln(x^2 + 4x - 5) \] Como el argumento del logaritmo tiende a infinito, el logaritmo también tiende a infinito: \[ \lim_{x \to \infty} \ln(x^2 + 4x - 5) = \infty \] Y también: \[ \lim_{x \to -\infty} \ln(x^2 + 4x - 5) = \infty \] Por tanto, no hay asíntotas horizontales. \( \textbf{Asíntotas oblicuas:} \) Analizamos el cociente \( \frac{\ln(x^2 + 4x - 5)}{x} \) cuando \( x \to \infty \). Como sabemos que: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x} = 0 \] Y como \( \ln(x^2 + 4x - 5) \sim \ln(x^2) = 2 \ln x \), entonces también: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x^2 + 4x - 5)}{x} = 0 \] Por tanto, no hay asíntotas oblicuas.