Ejercicio - Asíntotas y ramas parabólicas
Ejercicio de Límites y continuidad
\( \textbf{Ejercicio.} \) Determina el dominio de \( f(x) \) y sus asíntotas:
a) \( f(x) = \frac{1}{x + 1} + \frac{x}{x + 4} \)
b) \( f(x) = \frac{x}{x^2 - 4} + \frac{\ln(x + 1)}{x + 1} \)
c) \[ f(x) = \begin{cases} \frac{1}{5 - x} & \text{si } x \leq 0 \\ \frac{1}{5 + x} & \text{si } x > 0 \end{cases} \]
Solución de los Apartados
a) \( f(x) = \frac{1}{x + 1} + \frac{x}{x + 4} \)
Solución: \( \textbf{Dominio:} \) La función está definida salvo en los valores que anulan los denominadores: \[ x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1 \] \[ x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4 \] Por tanto, el dominio es: \[ \text{Dom } f(x) = \mathbb{R} \setminus \{-1, -4\} \] \( \textbf{Asíntotas verticales:} \) Los valores que anulan los denominadores, y no son simplificables, son candidatos a asíntotas verticales. Analizamos los límites: \[ \lim_{x \to -1} f(x) = \lim_{x \to -1} \left( \frac{1}{x + 1} + \frac{x}{x + 4} \right) \] El primer término tiende a infinito y el segundo a un número finito, por lo tanto: \[ \lim_{x \to -1} f(x) = \infty \Rightarrow \text{Asíntota vertical en } x = -1 \] Análogamente: \[ \lim_{x \to -4} f(x) = \infty \Rightarrow \text{Asíntota vertical en } x = -4 \] Por tanto, hay asíntotas verticales en \( x = -1 \) y \( x = -4 \). \( \textbf{Asíntota horizontal:} \) Calculamos el límite cuando \( x \to \infty \): \[ \lim_{x \to \infty} \left( \frac{1}{x + 1} + \frac{x}{x + 4} \right) \] Sumamos con común denominador: \[ = \lim_{x \to \infty} \frac{(x + 4) + x(x + 1)}{(x + 1)(x + 4)} \] Desarrollamos: Numerador: \[ (x + 4) + x^2 + x = x^2 + 2x + 4 \] Denominador: \[ (x + 1)(x + 4) = x^2 + 5x + 4 \] Entonces: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 2x + 4}{x^2 + 5x + 4} = \frac{1}{1} = 1 \] Por tanto, hay una asíntota horizontal en \( y = 1 \). \( \textbf{Asíntota oblicua:} \) Como existe asíntota horizontal, no puede haber asíntota oblicua.
b) \( f(x) = \frac{x}{x^2 - 4} + \frac{\ln(x + 1)}{x + 1} \)
Solución: \( \textbf{Dominio:} \) Estudiamos las restricciones: - \( \ln(x + 1) \) está definido solo si \( x + 1 > 0 \Rightarrow x > -1 \) - \( x^2 - 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 2 \) - \( x + 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1 \) Pero como ya exigimos \( x > -1 \), la única condición adicional es excluir \( x = 2 \). Por tanto, el dominio es: \[ \text{Dom } f(x) = (-1, 2) \cup (2, \infty) \] \( \textbf{Asíntotas verticales:} \) Analizamos los valores excluidos del dominio. Primero, en \( x = -1 \): \[ \lim_{x \to -1^+} \frac{\ln(x + 1)}{x + 1} = \frac{\ln(0^+)}{0^+} = \frac{-\infty}{0^+} = -\infty \] Por tanto, hay una asíntota vertical en \( x = -1 \). Después, en \( x = 2 \): \[ \lim_{x \to 2^-} \frac{x}{x^2 - 4} = \frac{2}{2^2 - 4} = \frac{2}{0^-} = -\infty \] \[ \lim_{x \to 2^+} \frac{x}{x^2 - 4} = \frac{2}{0^+} = +\infty \] Por tanto, también hay una asíntota vertical en \( x = 2 \). \( \textbf{Asíntota horizontal:} \) Calculamos el límite cuando \( x \to \infty \): \[ \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x}{x^2 - 4} + \frac{\ln(x + 1)}{x + 1} \right) \] Sabemos que: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{x}{x^2 - 4} = 0 \quad \text{y} \quad \lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x + 1)}{x + 1} = 0 \] Por tanto: \[ \lim_{x \to \infty} f(x) = 0 \] Hay una asíntota horizontal en \( y = 0 \). \( \textbf{Asíntota oblicua:} \) Como la función tiene asíntota horizontal, no puede tener asíntota oblicua.
c) \[ f(x) = \begin{cases} \frac{1}{5 - x} & \text{si } x \leq 0 \\ \frac{1}{5 + x} & \text{si } x > 0 \end{cases} \]
Solución: \( \textbf{Dominio:} \) Analizamos cada rama: - En la rama \( x \leq 0 \), el denominador \( 5 - x \) solo se anula si \( x = 5 \), pero ese valor no pertenece al dominio de esta rama, ya que \( x \leq 0 \). - En la rama \( x > 0 \), el denominador \( 5 + x \) solo se anula si \( x = -5 \), que tampoco pertenece a la rama. Por tanto, no hay valores que anulen los denominadores dentro de sus respectivos dominios. El dominio completo es: \[ \text{Dom } f(x) = \mathbb{R} \] No hay asíntotas verticales. \( \textbf{Asíntotas horizontales:} \) Estudiamos el comportamiento en los extremos del dominio. Límite cuando \( x \to -\infty \): \[ \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{5 - x} = \frac{1}{\infty} = 0 \] Límite cuando \( x \to \infty \): \[ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{5 + x} = \frac{1}{\infty} = 0 \] Por tanto, la función tiene una asíntota horizontal en: \[ y = 0 \] \( \textbf{Asíntota oblicua:} \) Como existe asíntota horizontal, no puede haber asíntota oblicua.