Ejercicio resuelto de Teorema de Bolzano y Teorema de Darboux (1 de 4)

Solución: La función \( f(x) \) es continua en \( \mathbb{R} \) porque está definida por cociente de polinomios y el denominador \( x^2 + 1 \) nunca se anula (siempre es positivo). Por tanto, \( f(x) \) es continua en el intervalo cerrado \( [-1, 1] \). Calculamos los valores de la función en los extremos del intervalo: \[ f(-1) = \frac{-1}{(-1)^2 + 1} = \frac{-1}{2} < 0 \] \[ f(1) = \frac{1}{1^2 + 1} = \frac{1}{2} > 0 \] Como \( f(-1) < 0 \) y \( f(1) > 0 \), los valores de la función en los extremos del intervalo tienen signos opuestos. Por tanto, se cumplen ambas condiciones del teorema de Bolzano: - \( f \) es continua en \( [-1, 1] \) - \( f(-1) \cdot f(1) < 0 \) \[ \Rightarrow \text{La función cumple las condiciones del teorema de Bolzano.} \]