Ejercicio resuelto de Teorema de Bolzano y Teorema de Darboux (2 de 4)

Solución: Planteamos la función: \[ f(x) = x^3 - 12x + 2 \] La función \( f(x) \) es un polinomio, por tanto es continua en todo \( \mathbb{R} \), y en particular en el intervalo \( [-2, 2] \). Evaluamos en los extremos del intervalo: \[ f(-2) = (-2)^3 - 12 \cdot (-2) + 2 = -8 + 24 + 2 = 18 > 0 \] \[ f(2) = 2^3 - 12 \cdot 2 + 2 = 8 - 24 + 2 = -14 < 0 \] Como \( f(-2) > 0 \) y \( f(2) < 0 \), los valores en los extremos del intervalo tienen signos opuestos. Por tanto, se cumplen las condiciones del teorema de Bolzano: - \( f(x) \) es continua en \( [-2, 2] \) - \( f(-2) \cdot f(2) < 0 \) Entonces, por el teorema de Bolzano: \[ \exists c \in (-2, 2) \text{ tal que } f(c) = 0 \] Es decir: \[ f(c) = c^3 - 12c + 2 = 0 \Rightarrow c^3 - 12c = -2 \] Este valor \( c \) es una solución real de la ecuación en el intervalo \( [-2, 2] \).