Ejercicio resuelto de Teorema de Bolzano y Teorema de Darboux (3 de 4)

Solución: Definimos la función: \[ f(x) = x^4 + 3x - 1 - \sin x \] La función está compuesta por funciones continuas (polinomios y seno), por tanto \( f(x) \) es continua en todo \( \mathbb{R} \), y en particular en el intervalo \( [0, 2] \). Evaluamos la función en los extremos del intervalo: \[ f(0) = 0^4 + 3 \cdot 0 - 1 - \sin 0 = -1 < 0 \] \[ f(2) = 2^4 + 3 \cdot 2 - 1 - \sin 2 = 16 + 6 - 1 - \sin 2 = 21 - \sin 2 \] Como \( \sin 2 < 1 \), entonces: \[ f(2) > 21 - 1 = 20 > 0 \] Por tanto, \( f(0) < 0 \) y \( f(2) > 0 \), es decir, los valores en los extremos del intervalo tienen signos opuestos. Como \( f \) es continua en \( [0, 2] \) y cambia de signo en los extremos, se cumplen las condiciones del teorema de Bolzano: \[ \Rightarrow \exists c \in (0, 2) \text{ tal que } f(c) = 0 \] Es decir: \[ c^4 + 3c - 1 - \sin c = 0 \Rightarrow c^4 + 3c = 1 + \sin c \] Por tanto, existe al menos una solución real de la ecuación en el intervalo \( [0, 2] \).