Ejercicio resuelto de Teorema de Bolzano y Teorema de Darboux (4 de 4)

Solución: Definimos la función: \[ f(x) = 4x^5 + 3x + m \] Esta función es un polinomio, por lo tanto es continua en todo \( \mathbb{R} \), para cualquier valor de \( m \). Estudiamos el comportamiento en los extremos: \[ \lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} (4x^5 + 3x + m) = -\infty \] \[ \lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} (4x^5 + 3x + m) = \infty \] Como el límite en \( x \to -\infty \) es \( -\infty \) y en \( x \to \infty \) es \( +\infty \), significa que, sea cual sea el valor de \( m \), la función toma valores negativos y positivos. Por tanto, existen \( a < b \) tales que: \[ f(a) < 0 \quad \text{y} \quad f(b) > 0 \] Como \( f(x) \) es continua en \( [a, b] \), se cumplen las condiciones del teorema de Bolzano: - \( f \) es continua en \( [a, b] \) - \( f(a) \cdot f(b) < 0 \) Por el teorema de Bolzano, existe \( c \in (a, b) \) tal que: \[ f(c) = 0 \] Por tanto, la ecuación \( 4x^5 + 3x + m = 0 \) tiene al menos una raíz real para cualquier valor de \( m \).