Ejercicio - Sistema de referencia, vectores y puntos en el espacio

Solución: La recta está dada en forma paramétrica: \[ \begin{cases} x = -1 + 2\lambda \\ y = 2 - 2\lambda \\ z = -3 + 3\lambda \end{cases} \] \( \textbf{Punto de la recta:} \) Para obtener un punto, basta con tomar un valor para \( \lambda \). Por simplicidad, elegimos \( \lambda = 0 \): \[ x = -1 + 2(0) = -1, \quad y = 2 - 2(0) = 2, \quad z = -3 + 3(0) = -3 \] Entonces, un punto de la recta es: \[ P = (-1, 2, -3) \] \( \textbf{Vector director:} \) El vector director se obtiene a partir de los coeficientes de \( \lambda \) en cada componente: \[ \vec{v} = (2, -2, 3) \] \( \textbf{Conclusión:} \) Un punto de la recta es \( (-1, 2, -3) \) y un vector director es \( (2, -2, 3) \).

Solución: La recta está dada como intersección de dos planos: \[ \begin{cases} x - 2y + z + 1 = 0 \\ x + 2z = 0 \end{cases} \] \( \textbf{1. Hallar un punto de la recta:} \) Vamos a elegir un valor para una variable y resolver el sistema. Por ejemplo, tomamos \( z = 1 \). Sustituimos en la segunda ecuación: \[ x + 2(1) = 0 \Rightarrow x = -2 \] Sustituimos \( x = -2 \), \( z = 1 \) en la primera ecuación: \[ -2 - 2y + 1 + 1 = 0 \Rightarrow -2 - 2y + 2 = 0 \Rightarrow -2y = 0 \Rightarrow y = 0 \] Entonces, un punto de la recta es: \[ P = (-2, 0, 1) \] \( \textbf{2. Hallar el vector director de la recta:} \) El vector director es perpendicular a los vectores normales de los planos, es decir, se obtiene como producto vectorial de los vectores normales de los planos: - Vector normal del primer plano: \( \vec{n}_1 = (1, -2, 1) \) - Vector normal del segundo plano: \( \vec{n}_2 = (1, 0, 2) \) Calculamos el producto vectorial: \[ \vec{v} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-2)(2) - (1)(0)) - \mathbf{j}((1)(2) - (1)(1)) + \mathbf{k}((1)(0) - (-2)(1)) \] \[ = \mathbf{i}(-4) - \mathbf{j}(2 - 1) + \mathbf{k}(0 + 2) = (-4, -1, 2) \] Entonces, el vector director de la recta es: \[ \vec{v} = (-4, -1, 2) \] \( \textbf{Conclusión:} \) Un punto de la recta es \( (-2, 0, 1) \) y un vector director es \( (-4, -1, 2) \).

Solución: La recta está dada en forma vectorial: \[ (x, y, z) = (6, 9, -3) + \lambda \cdot (-4, 2, 3) \] Esta es la forma estándar de una recta en el espacio, donde: - El punto \( (6, 9, -3) \) es un punto por el que pasa la recta. - El vector \( (-4, 2, 3) \) es el vector director de la recta. \( \textbf{Punto de la recta:} \) Directamente extraído de la ecuación: \[ P = (6, 9, -3) \] \( \textbf{Vector director:} \) También extraído directamente: \[ \vec{v} = (-4, 2, 3) \] \( \textbf{Conclusión:} \) Un punto de la recta es \( (6, 9, -3) \) y un vector director es \( (-4, 2, 3) \).

Solución: La ecuación de la recta está dada en forma continua: \[ \frac{x - 2}{4} = \frac{y + 1}{0} = \frac{z - 1}{3} \] \( \textbf{1. Vector director:} \) En una ecuación continua de la forma: \[ \frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c} \] el vector director es \( \vec{v} = (a, b, c) \). En este caso, tenemos: \[ \vec{v} = (4, 0, 3) \] Nota: el denominador cero en la fracción de \( y \) indica que \( y \) permanece constante. \( \textbf{2. Punto de la recta:} \) El punto se obtiene igualando cada fracción al parámetro \( \lambda \). Tomamos: \[ \frac{x - 2}{4} = \lambda \Rightarrow x = 2 + 4\lambda \\ \frac{y + 1}{0} = \lambda \Rightarrow y = -1 \quad (\text{constante}) \\ \frac{z - 1}{3} = \lambda \Rightarrow z = 1 + 3\lambda \] Si tomamos \( \lambda = 0 \), obtenemos el punto: \[ P = (2, -1, 1) \] \( \textbf{Conclusión:} \) Un punto de la recta es \( (2, -1, 1) \) y un vector director es \( (4, 0, 3) \).