Ejercicio - Ecuaciones de la recta

Solución: La recta \( r \) está definida como intersección de dos planos: \[ \begin{cases} x - y = 0 \\ y + z = 2 \end{cases} \] Para hallar un vector director de la recta, tomamos el producto vectorial de los vectores normales de los planos. Los vectores normales de los planos son: - Para \( x - y = 0 \): \( \vec{n}_1 = (1, -1, 0) \) - Para \( y + z = 2 \): \( \vec{n}_2 = (0, 1, 1) \) Calculamos el producto vectorial: \[ \vec{v} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} \] \[ = \mathbf{i}((-1)(1) - (0)(1)) - \mathbf{j}((1)(1) - (0)(0)) + \mathbf{k}((1)(1) - (0)(-1)) \] \[ = \mathbf{i}(-1) - \mathbf{j}(1) + \mathbf{k}(1) = (-1, -1, 1) \] \( \textbf{Conclusión:} \) Un vector director de la recta es: \[ \vec{v} = (-1, -1, 1) \]

Solución: Queremos obtener las ecuaciones paramétricas de la recta \( r \) definida por: \[ \begin{cases} x - y = 0 \\ y + z = 2 \end{cases} \] \( \textbf{1. Resolver el sistema:} \) Tenemos dos ecuaciones con tres incógnitas. Por tanto, podemos expresar dos variables en función de una tercera. Tomamos \( \lambda \) como parámetro libre. Por ejemplo, tomamos \( x = -\lambda \). De la primera ecuación: \( x = y \Rightarrow y = -\lambda \) De la segunda ecuación: \( y + z = 2 \Rightarrow -\lambda + z = 2 \Rightarrow z = 2 + \lambda \) \( \textbf{2. Ecuaciones paramétricas:} \) Sustituimos: \[ \begin{cases} x = -\lambda \\ y = -\lambda \\ z = 2 + \lambda \end{cases} \] \( \textbf{3. Punto de la recta:} \) Tomando \( \lambda = 0 \), obtenemos un punto: \[ P = (0, 0, 2) \] \( \textbf{Conclusión:} \) Un punto de la recta es \( (0, 0, 2) \) y las ecuaciones paramétricas son: \[ \begin{cases} x = -\lambda \\ y = -\lambda \\ z = 2 + \lambda \end{cases} \]