Ejercicio - Ecuaciones del plano, vector normal y vector de la recta

Ejercicio de Geometría en el espacio

\( \textbf{Ejercicio.} \) Escribe las ecuaciones paramétricas y la ecuación general del plano que se describe en cada caso:

a) Pasa por el punto \( A(3, 2, -1) \) y tiene por vectores directores \( \vec{u} = (-1, 1, 0) \) y \( \vec{v} = (-2, 0, -1) \).

b) Pasa por los puntos \( A(-1, 2, 0) \) y \( B(-1, 1, 2) \), y uno de sus vectores directores es \( \vec{u} = (1, -2, -1) \).

c) Pasa por los puntos \( A(1, 2, -1) \), \( B(1, 0, 2) \) y \( C(-2, 1, -3) \).

Solución de los Apartados

a) Pasa por el punto \( A(3, 2, -1) \) y tiene por vectores directores \( \vec{u} = (-1, 1, 0) \) y \( \vec{v} = (-2, 0, -1) \).

Solución: Se nos da un punto del plano y dos vectores directores: - Punto: \( A = (3, 2, -1) \) - Vectores directores: \( \vec{u} = (-1, 1, 0) \), \( \vec{v} = (-2, 0, -1) \) \textbf{1. Ecuaciones paramétricas del plano:} Usamos la expresión: \[ (x, y, z) = A + \lambda \vec{u} + \mu \vec{v} \] Es decir: \[ \begin{cases} x = 3 - \lambda - 2\mu \\ y = 2 + \lambda \\ z = -1 - \mu \end{cases} \] \textbf{2. Ecuación general del plano:} Para obtener la ecuación general, calculamos el producto vectorial \( \vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} \), que será un vector normal al plano: \[ \vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & -1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot (-1) - 0 \cdot 0) - \mathbf{j}((-1)(-1) - 0(-2)) + \mathbf{k}((-1)(0) - (1)(-2)) \] \[ = \mathbf{i}(-1) - \mathbf{j}(1) + \mathbf{k}(2) = (-1, -1, 2) \] Usamos el punto \( A = (3, 2, -1) \) y el vector normal para escribir la ecuación general del plano: \[ -1(x - 3) -1(y - 2) + 2(z + 1) = 0 \] Desarrollamos: \[ -x + 3 - y + 2 + 2z + 2 = 0 \Rightarrow -x - y + 2z + 7 = 0 \] \[ \Rightarrow \boxed{-x - y + 2z + 7 = 0} \] \textbf{Conclusión:} - Ecuaciones paramétricas del plano: \[ \begin{cases} x = 3 - \lambda - 2\mu \\ y = 2 + \lambda \\ z = -1 - \mu \end{cases} \] - Ecuación general del plano: \[ -x - y + 2z + 7 = 0 \]

b) Pasa por los puntos \( A(-1, 2, 0) \) y \( B(-1, 1, 2) \), y uno de sus vectores directores es \( \vec{u} = (1, -2, -1) \).

Solución: Se nos dan dos puntos del plano y un vector director: - \( A = (-1, 2, 0) \) - \( B = (-1, 1, 2) \) - Vector director conocido: \( \vec{u} = (1, -2, -1) \) \textbf{1. Calcular otro vector director del plano:} Obtenemos el vector \( \vec{v} = \overrightarrow{AB} \) restando las coordenadas: \[ \vec{v} = B - A = (-1, 1, 2) - (-1, 2, 0) = (0, -1, 2) \] Ya tenemos los dos vectores directores del plano: \[ \vec{u} = (1, -2, -1), \quad \vec{v} = (0, -1, 2) \] \textbf{2. Ecuaciones paramétricas del plano:} Usamos el punto \( A = (-1, 2, 0) \) y los vectores \( \vec{u} \) y \( \vec{v} \): \[ (x, y, z) = A + \lambda \vec{u} + \mu \vec{v} \] \[ \begin{cases} x = -1 + \lambda \\ y = 2 - 2\lambda - \mu \\ z = 0 - \lambda + 2\mu \end{cases} \] \textbf{3. Ecuación general del plano:} Calculamos el producto vectorial \( \vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} \) para obtener el vector normal al plano: \[ \vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -2 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-2)(2) - (-1)(-1)) - \mathbf{j}((1)(2) - (-1)(0)) + \mathbf{k}((1)(-1) - (-2)(0)) \] \[ = \mathbf{i}(-4 - 1) - \mathbf{j}(2 - 0) + \mathbf{k}(-1 - 0) = (-5, -2, -1) \] Tomamos el punto \( A = (-1, 2, 0) \) y el vector normal \( \vec{n} = (-5, -2, -1) \) para escribir la ecuación general: \[ -5(x + 1) -2(y - 2) -1(z - 0) = 0 \] \[ -5x - 5 - 2y + 4 - z = 0 \Rightarrow -5x - 2y - z -1 = 0 \] Multiplicamos por \( -1 \) para simplificar: \[ \Rightarrow \boxed{5x + 2y + z + 1 = 0} \] \textbf{Conclusión:} - Ecuaciones paramétricas del plano: \[ \begin{cases} x = -1 + \lambda \\ y = 2 - 2\lambda - \mu \\ z = -\lambda + 2\mu \end{cases} \] - Ecuación general del plano: \[ 5x + 2y + z + 1 = 0 \]

c) Pasa por los puntos \( A(1, 2, -1) \), \( B(1, 0, 2) \) y \( C(-2, 1, -3) \).

Solución: Nos dan tres puntos del plano: - \( A = (1, 2, -1) \) - \( B = (1, 0, 2) \) - \( C = (-2, 1, -3) \) \textbf{1. Calcular dos vectores directores del plano:} \[ \vec{v}_1 = \overrightarrow{BA} = A - B = (1, 2, -1) - (1, 0, 2) = (0, 2, -3) \] \[ \vec{v}_2 = \overrightarrow{CA} = A - C = (1, 2, -1) - (-2, 1, -3) = (3, 1, 2) \] \textbf{2. Ecuaciones paramétricas del plano:} Usamos el punto \( A = (1, 2, -1) \) y los vectores \( \vec{v}_1 = (0, 2, -3) \) y \( \vec{v}_2 = (3, 1, 2) \): \[ (x, y, z) = (1, 2, -1) + \lambda(0, 2, -3) + \mu(3, 1, 2) \] Esto nos da: \[ \begin{cases} x = 1 + 3\mu \\ y = 2 + 2\lambda + \mu \\ z = -1 - 3\lambda + 2\mu \end{cases} \] \textbf{3. Ecuación general del plano:} Calculamos el producto vectorial \( \vec{n} = \vec{v}_1 \times \vec{v}_2 \): \[ \vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 2 & -3 \\ 3 & 1 & 2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(2 \cdot 2 - (-3) \cdot 1) - \mathbf{j}(0 \cdot 2 - (-3) \cdot 3) + \mathbf{k}(0 \cdot 1 - 2 \cdot 3) \] \[ = \mathbf{i}(4 + 3) - \mathbf{j}(0 + 9) + \mathbf{k}(0 - 6) = (7, -9, -6) \] Usamos el punto \( A = (1, 2, -1) \) y el vector normal \( (7, -9, -6) \) para escribir la ecuación general: \[ 7(x - 1) - 9(y - 2) - 6(z + 1) = 0 \] \[ 7x - 7 - 9y + 18 - 6z - 6 = 0 \Rightarrow 7x - 9y - 6z + 5 = 0 \] \textbf{Conclusión:} - Ecuaciones paramétricas del plano: \[ \begin{cases} x = 1 + 3\mu \\ y = 2 + 2\lambda + \mu \\ z = -1 - 3\lambda + 2\mu \end{cases} \] - Ecuación general del plano: \[ 7x - 9y - 6z + 5 = 0 \]