Ejercicio - Posiciones relativas de una recta y un plano

Solución: Tenemos: \( \text{- La recta } r: \dfrac{x - 1}{3} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{z + 3}{1} \) \( \text{- El plano } \pi: 3x - 2y + z = 3 \) \( \textbf{1. Vector director de la recta:} \) De la ecuación continua de la recta extraemos el vector director: \[ \vec{v}_r = (3, 2, 1) \] \( \textbf{2. Vector normal del plano:} \) El vector normal del plano \( \pi \) es: \[ \vec{n}_\pi = (3, -2, 1) \] \( \textbf{3. Producto escalar:} \) Calculamos el producto escalar entre el vector director de la recta y el vector normal del plano: \[ \vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi = (3, 2, 1) \cdot (3, -2, 1) = 3 \cdot 3 + 2 \cdot (-2) + 1 \cdot 1 = 9 - 4 + 1 = 6 \] \( \textbf{4. Conclusión:} \) Como \( \vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi \neq 0 \), el vector director de la recta no es ortogonal al vector normal del plano, por tanto la recta corta al plano. \[ \Rightarrow \text{La recta y el plano se cortan.} \]

Solución: Tenemos: \( \text{- La recta } r: \dfrac{x - 1}{-1} = \dfrac{y - 1}{2} = \dfrac{z + 1}{-1} \) \( \text{- El plano } \pi: x + 2y - 3z = 0 \) \( \textbf{1. Vector director de la recta:} \) De la ecuación continua de la recta, el vector director es: \[ \vec{v}_r = (-1, 2, -1) \] \( \textbf{2. Vector normal del plano:} \) De la ecuación del plano obtenemos su vector normal: \[ \vec{n}_\pi = (1, 2, -3) \] \( \textbf{3. Producto escalar:} \) Calculamos el producto escalar entre \( \vec{v}_r \) y \( \vec{n}_\pi \): \[ \vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi = (-1) \cdot 1 + 2 \cdot 2 + (-1) \cdot (-3) = -1 + 4 + 3 = 6 \] \( \textbf{4. Conclusión:} \) Como \( \vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi \neq 0 \), el vector director de la recta no es perpendicular al plano, lo que significa que: \[ \Rightarrow \text{La recta corta al plano.} \]

Solución: Tenemos: \( \text{- La recta } r \text{ viene dada como intersección de dos planos:} \) \[ \begin{cases} x - 3y + 2z - 5 = 0 \\ 2x + 2y + 2z = 0 \end{cases} \] \( \text{- El plano } \pi: x + 2y + z = 0 \) \( \textbf{1. Vector director de la recta:} \) Para obtener un vector director de una recta dada como intersección de planos, hacemos el producto vectorial de los vectores normales de esos dos planos: Plano 1: \( \vec{n}_1 = (1, -3, 2) \) Plano 2: \( \vec{n}_2 = (2, 2, 2) \) Calculamos: \[ \vec{v}_r = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -3 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-3)(2) - (2)(2)) - \mathbf{j}((1)(2) - (2)(2)) + \mathbf{k}((1)(2) - (-3)(2)) \] \[ = \mathbf{i}(-6 - 4) - \mathbf{j}(2 - 4) + \mathbf{k}(2 + 6) = (-10, 2, 8) \] Simplificamos: \[ \vec{v}_r = (-5, 1, 4) \] \( \textbf{2. Vector normal del plano } \pi \): \[ \vec{n}_\pi = (1, 2, 1) \] \( \textbf{3. Producto escalar:} \) \[ \vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi = (-5)(1) + (1)(2) + (4)(1) = -5 + 2 + 4 = 1 \] \( \textbf{4. Conclusión:} \) Como \( \vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi \neq 0 \), el vector director de la recta no es perpendicular al plano, por tanto: \[ \Rightarrow \text{La recta corta al plano.} \]