Ejercicio - Posiciones relativas de una recta y un plano

Solución: Tenemos dos rectas: \[ r: \begin{cases} 2x + z - 9 = 0 \\ y = 1 \end{cases} \qquad s: \begin{cases} x + y = 0 \\ - x + 2y + 2z - 5 = 0 \end{cases} \] \( \textbf{1. Obtener vectores directores:} \) Para la recta \( r \), resolvemos el sistema como intersección de planos. Tomamos una variable libre, por ejemplo \( z = \lambda \), y despejamos: \[ 2x + z = 9 \Rightarrow x = \frac{9 - \lambda}{2} \] Y como \( y = 1 \), entonces un punto de la recta \( r \) es \( P_r = (0, 1, 9) \) para \( \lambda = 9 \), y un vector director \( \vec{v}_r \) es: \[ \vec{v}_r = (2, 0, 1) \] Para la recta \( s \), el sistema es: \[ \begin{cases} x + y = 0 \Rightarrow y = -x \\ - x + 2y + 2z = 5 \end{cases} \Rightarrow -x + 2(-x) + 2z = 5 \Rightarrow -3x + 2z = 5 \Rightarrow z = \frac{5 + 3x}{2} \] Tomando \( x = -1 \Rightarrow y = 1, z = 1 \), punto \( P_s = (-1, 1, 1) \) Un vector director de \( s \) se obtiene resolviendo con otro valor de \( x \), o directamente por el producto vectorial de normales. Ya está dado: \[ \vec{v}_s = (2, -2, 3) \] \( \textbf{2. ¿Son paralelas?} \) Verificamos si los vectores directores son proporcionales: \[ \vec{v}_r = (2, 0, 1), \quad \vec{v}_s = (2, -2, 3) \Rightarrow \text{No son proporcionales} \Rightarrow \text{no son paralelas.} \] \( \textbf{3. ¿Se cortan o se cruzan?} \) Calculamos el vector entre puntos \( P_r = (0,1,9) \), \( P_s = (-1,1,1) \): \[ \overrightarrow{P_s P_r} = (1, 0, 8) \] Ahora evaluamos el producto mixto \( [\vec{v}_r, \vec{v}_s, \overrightarrow{P_s P_r}] \): \[ \begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 2 & -2 & 3 \\ 1 & 0 & 8 \end{vmatrix} = 2 \cdot (-2 \cdot 8 - 3 \cdot 0) - 0 + 1 \cdot (2 \cdot 0 - (-2) \cdot 1) = 2(-16) + 2 = -32 + 2 = -30 \neq 0 \] \( \textbf{Conclusión:} \) Como el producto mixto es distinto de cero, las rectas: \[ \Rightarrow \text{se cruzan (no se cortan ni son paralelas).} \]

Solución: Queremos hallar el plano que: \( \text{- Contiene a la recta } s \) \( \text{- Es paralelo a la recta } r \) \( \textbf{Datos:} \) La recta \( s \) está dada por: \[ s: \begin{cases} x + y = 0 \\ - x + 2y + 2z - 5 = 0 \end{cases} \] La recta \( r \) tiene vector director: \[ \vec{v}_r = (2, 0, 1) \] \( \textbf{Paso 1: Obtener un punto de la recta } s \) De la resolución anterior, tomamos el punto \( P = (-1, 1, 1) \in s \) \( \textbf{Paso 2: Obtener un vector director de la recta } s \) Calculamos \( \vec{v}_s \) como el producto vectorial de los vectores normales de los planos que definen \( s \): \( x + y = 0 \Rightarrow \vec{n}_1 = (1, 1, 0) \) \( -x + 2y + 2z - 5 = 0 \Rightarrow \vec{n}_2 = (-1, 2, 2) \) Entonces: \[ \vec{v}_s = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot 2 - 0 \cdot 2) - \mathbf{j}(1 \cdot 2 - 0 \cdot (-1)) + \mathbf{k}(1 \cdot 2 - (-1) \cdot 1) \] \[ = \mathbf{i}(2) - \mathbf{j}(2) + \mathbf{k}(2 + 1) = (2, -2, 3) \] \( \textbf{Paso 3: Hallar el plano buscado} \) El plano que contiene a \( s \) tendrá como vectores directores: \[ \vec{v}_s = (2, -2, 3) \quad \text{(porque contiene a } s \text{)} \] \[ \vec{v}_r = (2, 0, 1) \quad \text{(porque debe ser paralelo a } r \text{)} \] Calculamos el vector normal al plano como: \[ \vec{n} = \vec{v}_s \times \vec{v}_r = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -2 & 3 \\ 2 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-2)(1) - (3)(0)) - \mathbf{j}((2)(1) - (3)(2)) + \mathbf{k}((2)(0) - (-2)(2)) \] \[ = \mathbf{i}(-2) - \mathbf{j}(2 - 6) + \mathbf{k}(0 + 4) = (-2, 4, 4) \] \( \textbf{Paso 4: Ecuación general del plano} \) Usamos el punto \( P = (-1, 1, 1) \) y el vector normal \( \vec{n} = (-2, 4, 4) \): \[ -2(x + 1) + 4(y - 1) + 4(z - 1) = 0 \] Desarrollamos: \[ -2x - 2 + 4y - 4 + 4z - 4 = 0 \Rightarrow -2x + 4y + 4z - 10 = 0 \] \( \textbf{Conclusión:} \) El plano buscado que contiene a \( s \) y es paralelo a \( r \) es: \[ \boxed{-2x + 4y + 4z - 10 = 0} \]