Ejercicio - Posiciones relativas de las rectas

Solución: Queremos estudiar la posición relativa entre las rectas: \[ r: \begin{cases} x + 2y - 3 = 0 \\ y + z + 4 = 0 \end{cases} \quad \text{y} \quad s: x + 2 = -2y = z - 1 \] y hallar la ecuación del plano que las contiene (si existe). \( \textbf{1. Vectores directores de las rectas} \) Para la recta \( r \), obtenemos el vector director como producto vectorial de los vectores normales de los planos que la definen: \[ \vec{v}_r = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(2 \cdot 1 - 0 \cdot 1) - \mathbf{j}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) + \mathbf{k}(1 \cdot 1 - 2 \cdot 0) = (2, -1, 1) \] Para la recta \( s \), de la ecuación continua: \[ \frac{x + 2}{1} = \frac{-2y}{1} = \frac{z - 1}{1} \Rightarrow \vec{v}_s = (2, -1, 2) \] \( \textbf{2. Puntos de cada recta} \) Para la recta \( r \), si tomamos \( y = 0 \), de la primera ecuación: \( x = 3 \), y de la segunda: \( z = -4 \) \[ P_r = (3, 0, -4) \] Para la recta \( s \), si tomamos el valor común \( \lambda = 0 \Rightarrow x = -2, y = 0, z = 1 \) \[ P_s = (-2, 0, 1) \] \( \textbf{3. Vector entre los puntos} \) \[ \overrightarrow{P_s P_r} = P_r - P_s = (3 - (-2), 0 - 0, -4 - 1) = (5, 0, -5) \] \( \textbf{4. Producto mixto} \) Evaluamos si las rectas se cruzan o se cortan calculando el producto mixto: \[ [\vec{v}_r, \vec{v}_s, \overrightarrow{P_s P_r}] = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 2 & -1 & 2 \\ 5 & 0 & -5 \end{vmatrix} = 2(-1 \cdot -5 - 2 \cdot 0) - (-1)(2 \cdot -5 - 2 \cdot 5) + 1(2 \cdot 0 - (-1) \cdot 5) \] \[ = 2(5) + 1(-10 - 10) + 1(5) = 10 - 20 + 5 = -5 \neq 0 \] \( \textbf{5. Conclusión} \) Como el producto mixto es distinto de cero: \[ \Rightarrow \text{Las rectas se cruzan (no se cortan ni son paralelas)}. \] Por tanto: \[ \Rightarrow \text{No existe ningún plano que las contenga a ambas.} \]