Ejercicio resuelto de Posiciones relativas de dos planos y cálculo de ángulos (1 de 2)

Solución: Estudiamos la posición relativa de los planos: \[ \pi_1: -2x + 2ky - 4z - 2 = 0 \qquad \pi_2: x - 2y + kz + 1 = 0 \] \( \textbf{Paso 1: Comparar vectores normales} \) Extraemos los vectores normales de ambos planos: \[ \vec{n}_1 = (-2, 2k, -4), \quad \vec{n}_2 = (1, -2, k) \] Para que los planos sean paralelos (o coincidentes), sus vectores normales deben ser proporcionales. Comprobamos si existe un mismo escalar que relacione sus componentes: \[ \frac{-2}{1} = \frac{2k}{-2} = \frac{-4}{k} \] Primero: \[ \frac{-2}{1} = \frac{2k}{-2} \Rightarrow -2 = -k \Rightarrow k = 2 \] Verificamos si también se cumple con la tercera componente: \[ \frac{-4}{k} = \frac{-2}{1} \Rightarrow -4 = -2k \Rightarrow k = 2 \] Por tanto, cuando \( k = 2 \), los vectores normales son proporcionales y los planos son paralelos. \( \textbf{Paso 2: Determinar si son coincidentes o paralelos distintos} \) Sustituimos \( k = 2 \) en ambas ecuaciones: \[ \pi_1: -2x + 4y - 4z - 2 = 0 \] \[ \pi_2: x - 2y + 2z + 1 = 0 \] Multiplicamos la segunda ecuación por \( -2 \) para compararla con la primera: \[ -2(x - 2y + 2z + 1) = -2x + 4y - 4z - 2 \] Que es exactamente la ecuación de \( \pi_1 \). Entonces: \[ \text{Si } k = 2 \Rightarrow \text{Los planos son coincidentes} \] \( \textbf{Paso 3: Conclusión final} \) \[ \begin{cases} k = 2 \Rightarrow \text{Los planos son coincidentes} \\ k \neq 2 \Rightarrow \text{Los planos se cortan (no paralelos)} \end{cases} \]