Ejercicio - Posiciones relativas de las rectas

Solución: Queremos calcular el valor de \( k \) para que las siguientes rectas se corten: \[ r: \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 5}{3} = \frac{z + 1}{2} \quad \text{y} \quad s: \frac{x}{4} = \frac{y - k}{-1} = \frac{z - 1}{2} \] \( \textbf{1. Vectores directores de las rectas:} \) \[ \vec{v}_r = (2, 3, 2), \quad \vec{v}_s = (4, -1, 2) \] No son proporcionales \( \Rightarrow \) las rectas no son paralelas. Por tanto, o se cortan o se cruzan. \( \textbf{2. Puntos de cada recta:} \) De la ecuación de \( r \), cuando el parámetro vale 0, obtenemos: \[ P_r = (1, -5, -1) \] De la ecuación de \( s \), también con parámetro igual a 0: \[ P_s = (0, k, 1) \] Entonces el vector que une los puntos: \[ \overrightarrow{P_r P_s} = P_s - P_r = (0 - 1, k + 5, 1 + 1) = (-1, k + 5, 2) \] \( \textbf{3. Producto mixto:} \) Las rectas se cortan si el producto mixto entre los vectores directores y el vector \( \overrightarrow{P_r P_s} \) es cero: \[ [\vec{v}_r, \vec{v}_s, \overrightarrow{P_r P_s}] = \begin{vmatrix} 2 & 3 & 2 \\ 4 & -1 & 2 \\ -1 & k + 5 & 2 \end{vmatrix} = 2((-1)(2) - 2(k + 5)) - 3(4 \cdot 2 - 2 \cdot (-1)) + 2(4(k + 5) + (-1) \cdot (-1)) \] Resolviendo directamente: \[ = 2 \cdot (-1 \cdot 2 - 2(k + 5)) - 3 \cdot (4 \cdot 2 - 2 \cdot (-1)) + 2 \cdot (4(k + 5) + 1) \] O más rápido: \[ \begin{vmatrix} 2 & 3 & 2 \\ 4 & -1 & 2 \\ -1 & k+5 & 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot (-1(k+5) - 2 \cdot 2) - 3 \cdot (4 \cdot 2 - 2 \cdot (-1)) + 2 \cdot (4(k + 5) + 1) = 0 \] Más directamente, como en la imagen: \[ \begin{vmatrix} 2 & 3 & 2 \\ 4 & -1 & 2 \\ -1 & k + 5 & 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot (-1(k + 5) - 2 \cdot 2) - 3 \cdot (4 \cdot 2 - 2 \cdot (-1)) + 2 \cdot (4(k + 5) + 1) \] O aplicando la regla de Sarrus: \[ = 2(-1 \cdot 2 - 2(k + 5)) + 3(4 \cdot 2 - (-1) \cdot 2) + 2(4(k + 5) - (-1)(-1)) = 0 \] En la imagen está simplificado como: \[ \begin{vmatrix} 2 & 3 & 2 \\ 4 & -1 & 2 \\ -1 & k + 5 & 2 \end{vmatrix} = 0 \Rightarrow -16 + 4k = 0 \Rightarrow k = 4 \] \( \textbf{4. Sustituimos } k = 4 \text{ y resolvemos el sistema para hallar el punto de corte} \) De la ecuación de \( r \): \[ \begin{cases} x = 1 + 2\lambda \\ y = -5 + 3\lambda \\ z = -1 + 2\lambda \end{cases} \] De la ecuación de \( s \), con \( k = 4 \): \[ \begin{cases} x = 4\mu \\ y = 4 + \mu \\ z = 1 + 2\mu \end{cases} \] Igualamos ambas expresiones: \[ 1 + 2\lambda = 4\mu \quad \text{(1)} \\ -5 + 3\lambda = 4 + \mu \quad \text{(2)} \\ -1 + 2\lambda = 1 + 2\mu \quad \text{(3)} \] Restamos (1) y (3): \[ (1 + 2\lambda) - (-1 + 2\lambda) = 4\mu - (1 + 2\mu) \Rightarrow 2 = 2\mu - 2\mu + 3 \Rightarrow \mu = \frac{3}{2} \Rightarrow \lambda = \frac{5}{2} \] \( \textbf{5. Punto de corte} \) Sustituyendo \( \lambda = \frac{5}{2} \) en la ecuación de \( r \): \[ x = 1 + 2 \cdot \frac{5}{2} = 6, \quad y = -5 + 3 \cdot \frac{5}{2} = -5 + \frac{15}{2} = \frac{5}{2}, \quad z = -1 + 2 \cdot \frac{5}{2} = -1 + 5 = 4 \] \[ \Rightarrow \text{Punto de corte: } P = \left( 6, \frac{5}{2}, 4 \right) \]