Ejercicio - Cálculo de distancias

Solución: \( \textbf{1. Distancia del punto } P \textbf{ a la recta } r \) Tomamos un punto de la recta \( r \). Por ejemplo, para \( \lambda = 0 \), se obtiene: \[ P_r = (2, -3, 2) \] El vector director de la recta es: \[ \vec{v}_r = (1, 1, -2) \] El vector que une el punto \( P_r \) con \( P \) es: \[ \overrightarrow{P_r P} = P - P_r = (2 - 2, \, 0 - (-3), \, -3 - 2) = (0, 3, -5) \] Calculamos el producto vectorial \( \overrightarrow{P_r P} \times \vec{v}_r \): \[ \overrightarrow{P_r P} \times \vec{v}_r = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 3 & -5 \\ 1 & 1 & -2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(3 \cdot -2 - (-5) \cdot 1) - \mathbf{j}(0 \cdot -2 - (-5) \cdot 1) + \mathbf{k}(0 \cdot 1 - 3 \cdot 1) \] \[ = \mathbf{i}(-6 + 5) - \mathbf{j}(0 + 5) + \mathbf{k}(0 - 3) = (-1, -5, -3) \] La distancia del punto \( P \) a la recta \( r \) se calcula como: \[ d(P, r) = \frac{ \left\lVert \overrightarrow{P_r P} \times \vec{v}_r \right\rVert }{ \left\lVert \vec{v}_r \right\rVert } = \frac{ \sqrt{(-1)^2 + (-5)^2 + (-3)^2} }{ \sqrt{1^2 + 1^2 + (-2)^2} } = \frac{ \sqrt{1 + 25 + 9} }{ \sqrt{1 + 1 + 4} } = \frac{ \sqrt{35} }{ \sqrt{6} } \] \[ \Rightarrow d(P, r) = \frac{ \sqrt{35} }{ \sqrt{6} } \quad \text{u} \] \( \textbf{2. Distancia del punto } P \textbf{ al plano } \pi \) Usamos la fórmula de distancia punto a plano: \[ d(P, \pi) = \frac{ |Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D| }{ \sqrt{A^2 + B^2 + C^2} } \] Para \( \pi: x + 2y + z - 1 = 0 \), tenemos: \[ A = 1, \quad B = 2, \quad C = 1, \quad D = -1 \] Y el punto \( P = (2, 0, -3) \) \[ d(P, \pi) = \frac{ |1 \cdot 2 + 2 \cdot 0 + 1 \cdot (-3) - 1| }{ \sqrt{1^2 + 2^2 + 1^2} } = \frac{ |2 - 3 - 1| }{ \sqrt{1 + 4 + 1} } = \frac{ |-2| }{ \sqrt{6} } = \frac{ 2 }{ \sqrt{6} } = \sqrt{ \frac{2}{3} } \] \[ \Rightarrow d(P, \pi) = \sqrt{ \frac{2}{3} } \quad \text{u} \]