Ejercicio - Cálculo de distancias

Solución: Queremos calcular la distancia entre la recta \[ r: \frac{x - 3}{1} = \frac{y + 2}{-2} = \frac{z - 1}{4} \] y el plano \( \pi: 2x + y + 5 = 0 \) \( \textbf{1. Vector director de la recta:} \) De la ecuación continua de la recta, extraemos el vector director: \[ \vec{v}_r = (1, -2, 4) \] \( \textbf{2. Vector normal del plano:} \) De la ecuación del plano \( \pi \), el vector normal es: \[ \vec{n}_\pi = (2, 1, 0) \] \( \textbf{3. Comprobamos si la recta es paralela al plano:} \) Calculamos el producto escalar entre el vector director de la recta y el vector normal del plano: \[ \vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi = 1 \cdot 2 + (-2) \cdot 1 + 4 \cdot 0 = 2 - 2 + 0 = 0 \] Como \( \vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi = 0 \), los vectores son perpendiculares, lo que implica que la recta es paralela al plano. \[ \Rightarrow r \parallel \pi \] \( \textbf{4. Cálculo de la distancia entre la recta y el plano} \) Tomamos un punto de la recta. Por ejemplo, cuando el parámetro es 0: \[ P = (3, -2, 1) \] Usamos la fórmula de distancia de un punto a un plano: \[ d(P, \pi) = \frac{ \left| Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D \right| }{ \sqrt{A^2 + B^2 + C^2} } \] Con \( A = 2, B = 1, C = 0, D = 5 \), y \( P = (3, -2, 1) \): \[ d(P, \pi) = \frac{ |2 \cdot 3 + 1 \cdot (-2) + 5| }{ \sqrt{2^2 + 1^2 + 0^2} } = \frac{ |6 - 2 + 5| }{ \sqrt{4 + 1} } = \frac{ 9 }{ \sqrt{5} } \] \[ \Rightarrow d(r, \pi) = \frac{9}{\sqrt{5}} \quad \text{u} \]