Ejercicio - Posiciones relativas de dos planos y cálculo de ángulos
Ejercicio de Geometría en el espacio
\( \textbf{Ejercicio.} \)
Dados los puntos \( A(3, 0, 0) \), \( B(0, 0, 0) \), \( C(0, 2, 0) \) y \( D(1, 1, 2) \), calcula el ángulo formado entre el plano que pasa por los puntos \( A \), \( B \) y \( C \), y la recta que pasa por los puntos \( C \) y \( D \).
Solución de los Apartados
Dados los puntos \( A(3, 0, 0) \), \( B(0, 0, 0) \), \( C(0, 2, 0) \) y \( D(1, 1, 2) \), calcula el ángulo formado entre el plano que pasa por los puntos \( A \), \( B \) y \( C \), y la recta que pasa por los puntos \( C \) y \( D \).
Solución: \( \textbf{1. Vector normal al plano que pasa por } A, B, C \) Calculamos los vectores: \[ \vec{BA} = A - B = (3, 0, 0), \quad \vec{CA} = A - C = (0, -2, 0) \] Calculamos el producto vectorial: \[ \vec{n}_\pi = \vec{BA} \times \vec{CA} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 0 - 0 \cdot (-2)) - \mathbf{j}(3 \cdot 0 - 0 \cdot 0) + \mathbf{k}(3 \cdot (-2) - 0 \cdot 0) = (0, 0, -6) \] Por tanto, podemos tomar el vector normal del plano como: \[ \vec{n}_\pi = (0, 0, 1) \] \( \textbf{2. Vector director de la recta } CD \) \[ \vec{v}_r = D - C = (1 - 0, 1 - 2, 2 - 0) = (1, -1, 2) \] \( \textbf{3. Cálculo del ángulo entre recta y plano} \) El ángulo \( \alpha \) entre una recta y un plano se halla mediante la fórmula: \[ \sin \alpha = \frac{ |\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi| }{ \|\vec{v}_r\| \cdot \|\vec{n}_\pi\| } \] Calculamos el producto escalar: \[ \vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi = (1)(0) + (-1)(0) + (2)(1) = 2 \] Calculamos los módulos: \[ \|\vec{v}_r\| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}, \quad \|\vec{n}_\pi\| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = 1 \] \[ \sin \alpha = \frac{2}{\sqrt{6}} \Rightarrow \alpha = \arcsin\left( \frac{2}{\sqrt{6}} \right) \approx 54{,}74^\circ \] \( \textbf{Resultado final:} \) \[ \boxed{ \alpha \approx 54{,}74^\circ } \]